2.4 Méthode de point fixe
59
a
a
b
b
φ
x
y
y = x
α1
α2
α3
a
a
b
b
φ
x
y
y = x
α
x
(0)
x
(1)
x
(2)
x
(3)
Figure 2.8. A gauche, une fonction φ présentant 3 points fixes ; à droite, une
fonction vérifiant l’hypothèse (2.19) et les premiers termes de la suite (2.21)
qui converge vers l’unique point fixe α
g a au moins un zéro dans [a, b], i.e. φ a au moins un point fixe dans
[a, b] (voir un exemple sur la Figure 2.8).
2. L’unicité du point fixe découle de l’hypothèse (2.19). En effet, si
on avait deux points fixes distincts α 1 et α 2 , alors
|α 1 − α 2 | = |φ(α 1 ) − φ(α 2 )| ≤ L|α 1 − α 2 | < |α 1 − α 2 |,
ce qui est impossible.
Prouvons à présent que la suite x
(k) définie en (2.17) converge vers
l’unique point fixe α quand k → ∞, pour toute donnée initiale x
(0)
∈
[a, b]. On a
0 ≤ |x
(k+1)
− α| = |φ(x
(k) ) − φ(α)|
≤ L|x
(k)
− α| ≤ . . . ≤ L
k+1
|x
(0)
− α|,
i.e., ∀k ≥ 0,
|x
(k)
− α|
|x (0) − α|
≤ L
k .
(2.20)
En passant à la limite quand k → ∞, on obtient lim k→∞ |x
(k)
− α| = 0,
ce qui est le résultat voulu.
En pratique, il est souvent très difficile de choisir a priori un intervalle
[a, b] sur lequel les hypothèses de la Proposition 2.1 sont vérifiées ; on
utilisera alors le résultat de convergence locale suivant (voir [OR70] pour
une preuve).