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2 Equations non linéaires
y = x
y
x
x
(0)
x
(1)
x
(2)
φ
α
y = x
y
x
x
(0)
x
(1)
x
(2)
φ
α
Figure 2.7. Représentation de quelques itérations de point fixe pour deux
fonctions d’itération. A gauche, la suite converge vers le point fixe α. A droite,
la suite diverge
Exemple 2.5 La méthode de Newton (2.7) peut être vue comme un algorithme de point fixe associé à la fonction d’itération
φ(x) = x −
f (x)
f (x)
.
(2.18)
Dorénavant, nous noterons cette fonction φN (N pour Newton). On ne peut
pas exprimer la méthode de dichotomie comme une méthode de point fixe car
l’itération x
(k+1) dépend non seulement de x
(k) mais aussi de x
(k−1) .
Les itérations de point fixe peuvent ne pas converger, comme le
montre la Figure 2.7 (à droite). On a le résultat suivant :
Proposition 2.1 Considérons la suite (2.17).
1. Supposons que φ(x) est continue sur [a, b] et telle que φ(x) ∈
[a, b] pour tout x ∈ [a, b] ; alors il existe au moins un point fixe
α ∈ [a, b].
2. De plus, si
∃L < 1 t.q. |φ(x 1 ) − φ(x 2 )| ≤ L|x 1 − x 2 | ∀x 1 , x 2 ∈ [a, b], (2.19)
alors φ admet un unique point fixe α ∈ [a, b] et la suite définie
en (2.17) converge vers α, pour toute donnée initiale x
(0) dans
[a, b].
Preuve. 1. Commençons par prouver l’existence d’un point fixe de φ.
La fonction g(x) = φ(x)−x est continue dans [a, b] et, grâce à l’hypothèse
faite sur l’image de φ, on a g(a) = φ(a) − a ≥ 0 et g(b) = φ(b) − b ≤ 0.
En appliquant le théorème des valeurs intermédiaires, on en déduit que