2.4 Méthode de point fixe
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y
y = x
x
φ
α
y
y = x
x
φ
Figure 2.6. La fonction φ(x) = cosx admet un point fixe et un seul (à
gauche), tandis que la fonction φ(x) = e
x n’en a aucun (à droite)
qui doit tendre vers la valeur α = 0.73908513 . . .. En effet, on a par
construction x
(k+1) = cos(x
(k) ) pour k = 0, 1, . . . (avec x
(0) = 1). Si
cette suite converge, sa limite α satisfait l’équation cos(α) = α. Pour
cette raison, α est appelé point fixe de la fonction cosinus. On peut
se demander comment exploiter cette procédure pour calculer les zéros
d’une fonction donnée. Remarquons qu’on peut voir α comme un point
fixe du cosinus, ou encore comme un zéro de la fonction f(x) = x−cos(x).
La méthode proposée fournit donc un moyen de calculer les zéros de f.
Cependant, toutes les fonctions n’ont pas un point fixe. Par exemple,
en répétant l’expérience précédente avec l’exponentielle et x
(0) = 1, on
dépasse les capacités de calcul (overflow ) après seulement 4 itérations
(voir Figure 2.6).
Précisons ce principe en considérant le problème suivant : étant donné
une fonction φ : [a, b] → R, trouver α ∈ [a, b] tel que
α = φ(α).
Si un tel α existe, on dit que c’est un point fixe de φ et on peut essayer
de le calculer à l’aide de l’algorithme suivant
x
(k+1) = φ(x
(k) ), k ≥ 0
(2.17)
où x
(0) est une donnée initiale. Cet algorithme est appelé méthode de
point fixe ou itérations de point fixe et on dit que φ est la fonction
d’itération. La procédure décrite en introduction est donc un exemple
d’itérations de point fixe avec φ(x) = cos(x).
La Figure 2.7 (à gauche) montre une représentation graphique de
(2.17). Il est raisonnable de penser que si φ est une fonction continue et
si la limite de la suite {x
(k)
} existe, alors cette limite est un point fixe
de φ. Nous préciserons ce résultat dans les Propositions 2.1 et 2.2.