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2 Equations non linéaires
converge en 8 itérations vers les valeurs :
4 . 7 6 09 582 253 3811 4e -01
- 8 . 7 939340 89897496e -01
(Le caractère spécial @ indique à newtonsys que Ffun et Jfun sont des fonctions
définies dans des M-files.)
Remarquer que si on part de x0=[-1;-1] la méthode converge vers l’autre
racine. De manière générale, tout comme dans le cas scalaire, la convergence
de la méthode de Newton dépend du choix de la donnée initiale x
(0) et on doit
s’assurer que det(Jf (x
(0) )) = 0.
Résumons-nous
1. Les méthodes pour le calcul des zéros d’une fonction f sont généralement itératives ;
2. la méthode de dichotomie permet le calcul d’un zéro d’une fonction
f en construisant une suite d’intervalles dont la longueur est divisée
par deux à chaque itération. Cette méthode est convergente dès que
f est continue sur l’intervalle initial et a des signes opposés aux
extrémités de cet intervalle ;
3. la méthode de Newton permet le calcul d’un zéro α de f en faisant
appel aux valeurs de f et de sa dérivée. Une condition nécessaire
de convergence est que la donnée initiale appartienne à un certain
voisinage (assez petit) de α ;
4. la convergence de la méthode de Newton n’est quadratique que quand
α est un zéro simple de f, autrement elle est linéaire ;
5. la méthode de Newton peut être étendue au cas d’un système d’équations non linéaires.
Voir les Exercices 2.6–2.14.
2.4 Méthode de point fixe
En s’amusant avec une calculatrice de poche, on peut vérifier qu’en partant de la valeur 1 et en appuyant plusieurs fois de suite sur la touche
“cosinus”, on obtient cette suite de valeurs
x
(1) = cos(1) = 0.54030230586814,
x
(2) = cos(x
(1) ) = 0.85755321584639,
. . .
x
(10) = cos(x
(9) ) = 0.74423735490056,
. . .
x
(20) = cos(x
(19) ) = 0.73918439977149,