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2 Equations non linéaires
f(T ) = 0 où f(T ) = M − v
1 + T
T
[(1 + T )
n
− 1].
Ce problème sera résolu dans l’Exemple 2.1.
Problème 2.2 (Equation d’état d’un gaz) Nous voulons déterminer le volume V occupé par un gaz dont la température est T et dont
la pression est p. L’équation d’état (i.e. l’équation liant p, V et T ) est
donnée par
p + a(N/V )
2
(V − N b) = kN T,
(2.1)
où a et b sont deux coefficients qui dépendent du gaz considéré, N est le
nombre de molécules contenues dans le volume V et k est la constante de
Boltzmann. Nous devons donc résoudre une équation non linéaire dont
la racine est V (voir Exercice 2.2).
Problème 2.3 (Statique) Considérons le système mécanique représenté par les quatre barres rigides a i de la Figure 2.1. Pour une valeur
admissible de l’angle β, déterminons la valeur de l’angle α entre les barres
a 1 et a 2 . Partant de la relation vectorielle
a 1 − a 2 − a 3 − a 4 = 0
et remarquant que la barre a 1 est toujours alignée avec l’axe des x, on
peut déduire les relations suivantes entre β et α
a 1
a 2
cos(β) −
a 1
a 4
cos(α) − cos(β − α) = −
a
2
1 + a
2
2 − a
2
3 + a
2
4
2a 2 a 4
, (2.2)
où a i est la longueur connue de la i-ème barre. Cette égalité, appelée
équation de Freudenstein, peut être récrite comme suit : f(α) = 0, où
f(x) =
a 1
a 2
cos(β) −
a 1
a 4
cos(x) − cos(β − x) +
a
2
1 + a
2
2 − a
2
3 + a
2
4
2a 2 a 4
.
Une expression explicite de la solution n’existe que pour des valeurs
particulières de β. Signalons également qu’il n’y a pas existence d’une
solution pour toutes les valeurs de β, et qu’une solution peut ne pas
être unique. Pour résoudre cette équation pour toute valeur de β entre
0 et π, nous devrons avoir recours à des méthodes numériques (voir
Exercice 2.9).
Problème 2.4 (Dynamique des populations) Pour étudier une population (p. ex. de bactéries), on considère l’équation x
+ = φ(x) = xR(x)
qui donne une relation entre le nombre d’individus à la génération x et le
nombre d’individus à la génération suivante. La fonction R(x) modélise
la vitesse d’évolution de la population considérée et peut être choisie de
différentes manières. Parmi les plus connues, on peut citer :
2 Equations non linéaires
f(T ) = 0 où f(T ) = M − v
1 + T
T
[(1 + T )
n
− 1].
Ce problème sera résolu dans l’Exemple 2.1.
Problème 2.2 (Equation d’état d’un gaz) Nous voulons déterminer le volume V occupé par un gaz dont la température est T et dont
la pression est p. L’équation d’état (i.e. l’équation liant p, V et T ) est
donnée par
p + a(N/V )
2
(V − N b) = kN T,
(2.1)
où a et b sont deux coefficients qui dépendent du gaz considéré, N est le
nombre de molécules contenues dans le volume V et k est la constante de
Boltzmann. Nous devons donc résoudre une équation non linéaire dont
la racine est V (voir Exercice 2.2).
Problème 2.3 (Statique) Considérons le système mécanique représenté par les quatre barres rigides a i de la Figure 2.1. Pour une valeur
admissible de l’angle β, déterminons la valeur de l’angle α entre les barres
a 1 et a 2 . Partant de la relation vectorielle
a 1 − a 2 − a 3 − a 4 = 0
et remarquant que la barre a 1 est toujours alignée avec l’axe des x, on
peut déduire les relations suivantes entre β et α
a 1
a 2
cos(β) −
a 1
a 4
cos(α) − cos(β − α) = −
a
2
1 + a
2
2 − a
2
3 + a
2
4
2a 2 a 4
, (2.2)
où a i est la longueur connue de la i-ème barre. Cette égalité, appelée
équation de Freudenstein, peut être récrite comme suit : f(α) = 0, où
f(x) =
a 1
a 2
cos(β) −
a 1
a 4
cos(x) − cos(β − x) +
a
2
1 + a
2
2 − a
2
3 + a
2
4
2a 2 a 4
.
Une expression explicite de la solution n’existe que pour des valeurs
particulières de β. Signalons également qu’il n’y a pas existence d’une
solution pour toutes les valeurs de β, et qu’une solution peut ne pas
être unique. Pour résoudre cette équation pour toute valeur de β entre
0 et π, nous devrons avoir recours à des méthodes numériques (voir
Exercice 2.9).
Problème 2.4 (Dynamique des populations) Pour étudier une population (p. ex. de bactéries), on considère l’équation x
+ = φ(x) = xR(x)
qui donne une relation entre le nombre d’individus à la génération x et le
nombre d’individus à la génération suivante. La fonction R(x) modélise
la vitesse d’évolution de la population considérée et peut être choisie de
différentes manières. Parmi les plus connues, on peut citer :