2
Equations non linéaires
Calculer les zéros d’une fonction f réelle (c’est-à-dire les racines d’une
équation f(x) = 0) est un problème que l’on rencontre très souvent en
Calcul Scientifique. En général, cette tâche ne peut être effectuée en un
nombre fini d’opérations. Par exemple, nous avons vu au paragraphe
1.5.1 qu’il n’existait pas de formule explicite donnant les racines d’un
polynôme quelconque de degré supérieur à 4. La situation est bien sûr
encore plus complexe quand f n’est pas un polynôme.
Pour résoudre le problème, on utilise donc des méthodes itératives :
partant d’une ou plusieurs valeurs initiales, on construit une suite de
valeurs x
(k) qui, si tout se passe bien, converge vers un zéro α de la
fonction f considérée.
Nous débuterons ce chapitre avec quelques problèmes simples et
concrets qui donnent lieu à des équations non linéaires. Diverses méthodes numériques seront alors présentées, puis utilisées pour résoudre
ces problèmes. Cette démarche sera également adoptée dans les chapitres
suivants.
2.1 Quelques problèmes types
Problème 2.1 (Fonds d’investissement) Le client d’une banque dépose au début de chaque année v euros dans un fonds d’investissement
et en retire, à la fin de la n-ème année, un capital de M euros. Nous
voulons calculer le taux d’intérêt annuel moyen T de cet investissement.
Comme M est relié à T par la relation
M = v
n
k=1
(1 + T )
k = v
1 + T
T
[(1 + T )
n
− 1] ,
nous déduisons que T est racine de l’équation algébrique non linéaire :
Quarteroni, A., Saleri, F., Gervasio, P.: Calcul Scientifique
c
Springer-Verlag Italia 2010