2.1 Quelques problèmes types
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a1
a2
a3
a4
β
α
x
y
Figure 2.1. Le système de quatre barres du Problème 2.3
1. le modèle de Malthus (Thomas Malthus, 1766–1834),
R(x) = R M (x) = r
r>0;
2. le modèle de croissance avec ressources limitées (de Pierre François
Verhulst, 1804–1849)
R(x) = R V (x) =
r
1 + xK
,
r >0, K > 0,
(2.3)
qui améliore le modèle de Malthus en considérant que la croissance
de la population est limitée par la disponibilité de ressources ;
3. le modèle prédateurs-proies avec saturation
R(x) = R P =
rx
1 + (x/K) 2 ,
(2.4)
qui constitue une extension du modèle de Verhulst prenant en compte
une population antagoniste.
La dynamique de la population est alors définie par la relation de récurrence
x
(k) = φ(x
(k−1) ),
k >0,
(2.5)
où x
(k) représente le nombre d’individus encore présents k générations
après la génération initiale x
(0) . On définit les états stationnaires (ou
équilibres) x
∗ de la population considérée comme les solutions du problème
x
∗ = φ(x
∗ ),
ou, de manière équivalente, x
∗ = x
∗ R(x
∗ ) i.e. R(x
∗ ) = 1. L’équation
(2.5) est un exemple de méthode de point fixe (voir Section 2.4).