1.6 L’erreur n’est pas seulement humaine
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où | · | désigne le module, ou toute autre mesure de (valeur absolue,
norme) selon la nature de x.
Le calcul numérique consiste généralement à approcher le modèle
mathématique en faisant intervenir un paramètre de discrétisation, que
nous noterons h et que nous supposerons positif. Si, quand h tend vers
0, la solution du calcul numérique tend vers celle du modèle mathématique, nous dirons que le calcul numérique est convergent. Si de plus,
l’erreur (absolue ou relative) peut être majorée par une fonction de h de
la manière suivante
e c ≤ Ch
p
(1.11)
où C est indépendante de h et où p est un nombre positif, nous dirons
que la méthode est convergente d’ordre p. Quand, en plus d’un majorant
(1.11), on dispose d’un minorant C
h
p
≤ e c (C
étant une autre constante
(≤ C) indépendante de h et p), on peut remplacer le symbole ≤ par .
Exemple 1.1 Supposons qu’on approche la dérivée d’une fonction f en un
point ¯
x avec le taux d’accroissement qui apparaît en (1.10). Naturellement, si
f est dérivable en ¯
x, l’erreur commise en remplaçant f
par le taux d’accroissement tend vers 0 quand h → 0. Néanmoins, nous verrons à la Section 4.2
que l’erreur ne se comporte en Ch que si f ∈ C
2 dans un voisinage de ¯
x.
Quand on étudie les propriétés de convergence d’une méthode numérique, on a souvent recours à des graphes représentant l’erreur en fonction
de h dans une échelle logarithmique, c’est-à-dire représentant log(h) sur
l’axe des abscisses et log(e c ) sur l’axe des ordonnées. Le but de cette
représentation est clair : si e c = Ch
p alors log e c = log C + p log h. En
échelle logarithmique, p représente donc la pente de la ligne droite log e c .
Ainsi, quand on veut comparer deux méthodes, celle présentant la pente
la plus forte est celle qui a l’ordre le plus élevé (la pente est p = 1 pour les
méthodes d’ordre un, p = 2 pour les méthodes d’ordre deux, et ainsi de
suite). Il est très simple d’obtenir avec MATLAB des graphes en échelle
logarithmique : il suffit de taper loglog(x,y), x et y étant les vecteurs loglog
contenant les abscisses et les ordonnées des données à représenter.
Par exemple, on a tracé sur la Figure 1.7, à gauche, des droites représentant le comportement de l’erreur de deux méthodes différentes.
La ligne en traits pleins correspond à une méthode d’ordre un, la ligne
en traits discontinus à une méthode d’ordre deux. Sur la Figure 1.7, à
droite, on a tracé les mêmes données qu’à gauche mais avec la commande
plot, c’est-à-dire en échelle linéaire pour les axes x et y. Il est évident
que la représentation linéaire n’est pas la mieux adaptée à ces données
puisque la courbe en traits discontinus se confond dans ce cas avec l’axe
des x quand x ∈ [10
−6 , 10
−2 ], bien que l’ordonnée correspondante varie
entre 10
−12 et 10
−4 , c’est-à-dire sur 8 ordres de grandeur.
Il y a une manière non graphique d’établir l’ordre d’une méthode
quand on connaît les erreurs relatives pour quelques valeurs du paramètre
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où | · | désigne le module, ou toute autre mesure de (valeur absolue,
norme) selon la nature de x.
Le calcul numérique consiste généralement à approcher le modèle
mathématique en faisant intervenir un paramètre de discrétisation, que
nous noterons h et que nous supposerons positif. Si, quand h tend vers
0, la solution du calcul numérique tend vers celle du modèle mathématique, nous dirons que le calcul numérique est convergent. Si de plus,
l’erreur (absolue ou relative) peut être majorée par une fonction de h de
la manière suivante
e c ≤ Ch
p
(1.11)
où C est indépendante de h et où p est un nombre positif, nous dirons
que la méthode est convergente d’ordre p. Quand, en plus d’un majorant
(1.11), on dispose d’un minorant C
h
p
≤ e c (C
étant une autre constante
(≤ C) indépendante de h et p), on peut remplacer le symbole ≤ par .
Exemple 1.1 Supposons qu’on approche la dérivée d’une fonction f en un
point ¯
x avec le taux d’accroissement qui apparaît en (1.10). Naturellement, si
f est dérivable en ¯
x, l’erreur commise en remplaçant f
par le taux d’accroissement tend vers 0 quand h → 0. Néanmoins, nous verrons à la Section 4.2
que l’erreur ne se comporte en Ch que si f ∈ C
2 dans un voisinage de ¯
x.
Quand on étudie les propriétés de convergence d’une méthode numérique, on a souvent recours à des graphes représentant l’erreur en fonction
de h dans une échelle logarithmique, c’est-à-dire représentant log(h) sur
l’axe des abscisses et log(e c ) sur l’axe des ordonnées. Le but de cette
représentation est clair : si e c = Ch
p alors log e c = log C + p log h. En
échelle logarithmique, p représente donc la pente de la ligne droite log e c .
Ainsi, quand on veut comparer deux méthodes, celle présentant la pente
la plus forte est celle qui a l’ordre le plus élevé (la pente est p = 1 pour les
méthodes d’ordre un, p = 2 pour les méthodes d’ordre deux, et ainsi de
suite). Il est très simple d’obtenir avec MATLAB des graphes en échelle
logarithmique : il suffit de taper loglog(x,y), x et y étant les vecteurs loglog
contenant les abscisses et les ordonnées des données à représenter.
Par exemple, on a tracé sur la Figure 1.7, à gauche, des droites représentant le comportement de l’erreur de deux méthodes différentes.
La ligne en traits pleins correspond à une méthode d’ordre un, la ligne
en traits discontinus à une méthode d’ordre deux. Sur la Figure 1.7, à
droite, on a tracé les mêmes données qu’à gauche mais avec la commande
plot, c’est-à-dire en échelle linéaire pour les axes x et y. Il est évident
que la représentation linéaire n’est pas la mieux adaptée à ces données
puisque la courbe en traits discontinus se confond dans ce cas avec l’axe
des x quand x ∈ [10
−6 , 10
−2 ], bien que l’ordonnée correspondante varie
entre 10
−12 et 10
−4 , c’est-à-dire sur 8 ordres de grandeur.
Il y a une manière non graphique d’établir l’ordre d’une méthode
quand on connaît les erreurs relatives pour quelques valeurs du paramètre