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1 Ce qu’on ne peut ignorer
à certaines situations et ne sont pas dans le champ du contrôle du Calcul
Scientifique.
On ne peut généralement pas donner la solution explicite d’un modèle mathématique (qu’il soit exprimé par une intégrale comme dans
l’exemple de la Figure 1.6, une équation algébrique ou différentielle,
un système linéaire ou non linéaire). La résolution par des algorithmes
numériques entraîne immanquablement l’introduction et la propagation
d’erreurs d’arrondi. Nous appelons ces erreurs e a .
De plus, il est souvent nécessaire d’introduire d’autres erreurs liées
au fait qu’un ordinateur ne peut effectuer que de manière approximative
des calculs impliquant un nombre infini d’opérations arithmétiques. Par
exemple, le calcul de la somme d’une série ne pourra être accompli qu’en
procédant à une troncature convenable.
On doit donc définir un problème numérique, P N, dont la solution
x n diffère de x d’une erreur e t , appelée erreur de troncature. Ces erreurs
ne se trouvent pas seulement dans les modèles mathématiques posés en
dimension finie (par exemple, quand on résout un système linéaire). La
somme des erreurs e a et e t constitue l’erreur de calcul e c , c’est-à-dire la
quantité qui nous intéresse.
L’erreur de calcul absolue est la différence entre x, la solution exacte
du modèle mathématique, et
x, la solution obtenue à la fin de la résolution numérique,
e
abs
c
= |x −
x|,
tandis que (si x = 0) l’erreur de calcul relative est définie par
e
rel
c = |x −
x|/|x|,
xn =
k
φ(tk)αk
x =
T
0
φ(t)dt
x
MM
P P
P N
xph
em
et
ea
ec
Figure 1.6. Les divers types d’erreur au cours d’un processus de calcul