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1 Ce qu’on ne peut ignorer
Rappelons qu’une fonction f définie sur un intervalle [a, b] est dérivable en un point ¯
x ∈]a, b[ si la limite suivante existe et est finie
f
(¯ x) = lim
h→0
1
h
(f(¯ x + h) − f(¯ x)).
(1.10)
Dans tous les cas, la valeur de la dérivée fournit la pente de la tangente au graphe de f au point ¯
x. On appelle C
1 ([a, b]) l’espace des fonctions dérivables dont la dérivée est continue en tout point de [a, b]. Plus
généralement, on appelle C
p ([a, b]) l’espace des fonctions dérivables dont
les dérivées jusqu’à l’ordre p (un entier positif) sont continues. En particulier, C
0 ([a, b]) désigne l’espace des fonctions continues sur [a, b].
On utilisera souvent le théorème de la moyenne : si f ∈ C
1 ([a, b]), il
existe ξ ∈]a, b[ tel que
f
(ξ) = (f(b) − f(a))/(b − a).
Rappelons enfin qu’une fonction qui, dans un voisinage de x 0 , est
continue et admet des dérivées continues jusqu’à l’ordre n, peut être
approchée dans ce voisinage par le polynôme de Taylor de degré n au
point x 0
T n (x) = f(x 0 ) + (x − x 0 )f
(x 0 ) + . . . +
1
n!
(x − x 0 )
n f
(n) (x 0 )
=
n
k=0
(x − x 0 )
k
k!
f
(k) (x 0 ).
La toolbox symbolic de MATLAB contient les commandes diff,
diff int
taylor int et taylor qui fournissent respectivement l’expression analytique de
la dérivée, de l’intégrale indéfinie (i.e. une primitive) et le polynôme de
Taylor d’une fonction donnée. En particulier, si on a défini une fonction
avec la chaîne de caractères f, diff(f,n) donne sa dérivée à l’ordre n,
int(f) son intégrale indéfinie, et taylor(f,x,n+1) son polynôme de
Taylor de degré n en x 0 = 0. La variable x doit être déclarée comme
symbolique en utilisant la commande syms x. Cela permettra de la masyms
nipuler algébriquement sans avoir à spécifier sa valeur.
Pour appliquer ceci à la fonction f(x) = (x
2 + 2x + 2)/(x
2
− 1), on
procède ainsi :
>> f = ’(x^2+2*x+2)/(x^2-1)’;
>> syms x
>> diff(f)
(2*x+2)/(x^2-1)-2*(x^2+2*x+2)/(x^2-1)^2*x
>> int(f)
x+5/2*log(x-1)-1/2*log(1+x)
>> taylor(f,x,6)
-2-2*x-3*x^2-2*x^3-3*x^4-2*x^5
1 Ce qu’on ne peut ignorer
Rappelons qu’une fonction f définie sur un intervalle [a, b] est dérivable en un point ¯
x ∈]a, b[ si la limite suivante existe et est finie
f
(¯ x) = lim
h→0
1
h
(f(¯ x + h) − f(¯ x)).
(1.10)
Dans tous les cas, la valeur de la dérivée fournit la pente de la tangente au graphe de f au point ¯
x. On appelle C
1 ([a, b]) l’espace des fonctions dérivables dont la dérivée est continue en tout point de [a, b]. Plus
généralement, on appelle C
p ([a, b]) l’espace des fonctions dérivables dont
les dérivées jusqu’à l’ordre p (un entier positif) sont continues. En particulier, C
0 ([a, b]) désigne l’espace des fonctions continues sur [a, b].
On utilisera souvent le théorème de la moyenne : si f ∈ C
1 ([a, b]), il
existe ξ ∈]a, b[ tel que
f
(ξ) = (f(b) − f(a))/(b − a).
Rappelons enfin qu’une fonction qui, dans un voisinage de x 0 , est
continue et admet des dérivées continues jusqu’à l’ordre n, peut être
approchée dans ce voisinage par le polynôme de Taylor de degré n au
point x 0
T n (x) = f(x 0 ) + (x − x 0 )f
(x 0 ) + . . . +
1
n!
(x − x 0 )
n f
(n) (x 0 )
=
n
k=0
(x − x 0 )
k
k!
f
(k) (x 0 ).
La toolbox symbolic de MATLAB contient les commandes diff,
diff int
taylor int et taylor qui fournissent respectivement l’expression analytique de
la dérivée, de l’intégrale indéfinie (i.e. une primitive) et le polynôme de
Taylor d’une fonction donnée. En particulier, si on a défini une fonction
avec la chaîne de caractères f, diff(f,n) donne sa dérivée à l’ordre n,
int(f) son intégrale indéfinie, et taylor(f,x,n+1) son polynôme de
Taylor de degré n en x 0 = 0. La variable x doit être déclarée comme
symbolique en utilisant la commande syms x. Cela permettra de la masyms
nipuler algébriquement sans avoir à spécifier sa valeur.
Pour appliquer ceci à la fonction f(x) = (x
2 + 2x + 2)/(x
2
− 1), on
procède ainsi :
>> f = ’(x^2+2*x+2)/(x^2-1)’;
>> syms x
>> diff(f)
(2*x+2)/(x^2-1)-2*(x^2+2*x+2)/(x^2-1)^2*x
>> int(f)
x+5/2*log(x-1)-1/2*log(1+x)
>> taylor(f,x,6)
-2-2*x-3*x^2-2*x^3-3*x^4-2*x^5