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9 Solutions des exercices
On calcule, à l’aide de la commande find, le temps approximatif pour
lequel l’altitude devient négative, ce qui correspond au temps de l’impact au
sol :
n=max(find(u(:,3)>=0)); t(n)
ans =
0.1066
Sur la Figure 7.1, on trace dans le plan x1x3 et dans l’espace x1x2x3 les
trajectoires de la balle avec une inclinaison de 1 et 3 degrés.
9.8 Chapitre 8
Solution 8.1 On peut vérifier directement que x
T Ax > 0 pour tout x = 0.
En effet,
[x1 x2 . . . xN−1 xN ]
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
2 −1 0 . . . 0
−1 2
. . .
. . .
0
. . .
. . . −1 0
. . .
−1 2 −1
0 . . . 0 −1 2
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
x1
x2
. . .
xN−1
xN
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
= 2x
2
1 − 2x1x2 + 2x
2
2 − 2x2x3 + . . . − 2xN−1xN + 2x
2
N .
La dernière expression est égale à (x1 −x2)
2 +. . .+(xN−1 −xN )
2 +x
2
1 +x
2
N ,
qui est strictement positive dès qu’un xi est non nul.
Solution 8.2 On vérifie que Aqj = λjqj . En calculant les produits matricevecteur w = Aqj et en écrivant que w est égal au vecteur λj qj , on trouve
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
2 sin(jθ) − sin(2jθ) = 2(1 − cos(jθ)) sin(jθ),
− sin(j(k − 1)θ) + 2 sin(jkθ) − sin(j(k + 1)θ) = 2(1 − cos(jθ)) sin(kjθ),
k = 2, . . . , N − 1
2 sin(N jθ) − sin((N − 1)jθ) = 2(1 − cos(jθ)) sin(N jθ).
La première équation est l’identité sin(2jθ) = 2sin(jθ) cos(jθ). Les autres
équations peuvent se simplifier en utilisant la formule trigonométrique
sin((k − 1)jθ) + sin((k + 1)jθ) = 2 sin(kjθ) cos(jθ)
et en remarquant que sin((N + 1)jθ) = 0 puisque θ = π/(N + 1).
Comme A est symétrique définie positive, son conditionnement est donné
par K(A) = λmax/λmin , c’est-à-dire, K(A) = λN /λ1 = (1 − cos(N π/(N +
1)))/(1 − cos(π/(N + 1))). Avec la relation cos(N π/(N + 1)) = − cos(π/(N +
1)) et un développement de Taylor d’ordre 2 du cosinus, on obtient K(A)
(N + 1)
2 , c’est-à-dire K(A) h
−2 .