9.8 Chapitre 8
347
Solution 8.3 On remarque que
u(¯ x + h) = u(¯ x) + hu
(¯ x) +
h
2
2
u
(¯ x) +
h
3
6
u
(¯ x) +
h
4
24
u
(4) (ξ+),
u(¯ x − h) = u(¯ x) − hu
(¯ x) +
h
2
2
u
(¯ x) −
h
3
6
u
(¯ x) +
h
4
24
u
(4) (ξ−),
où ξ+ ∈]x, x + h[ et ξ− ∈]x − h, x[. En ajoutant ces deux expressions, on
obtient
u(¯ x + h) + u(¯ x − h) = 2u(¯ x) + h
2 u
(¯ x) +
h
4
24
(u
(4) (ξ+) + u
(4) (ξ−)),
ce qui est la propriété voulue.
Solution 8.4 La matrice est encore tridiagonale, de coefficients ai,i−1 =
−μ/h
2 − η/(2h), aii = 2μ/h
2 + σ, ai,i+1 = −μ/h
2 + η/(2h). Le second
membre, tenant compte des conditions aux limites, devient f = (f (x1) +
α(μ/h
2 + η/(2h)), f(x2), . . . , f (xN−1), f(xN ) + β(μ/h
2 − η/(2h)))
T .
Solution 8.5 On calcule les solutions correspondant aux trois valeurs de h à
l’aide des instructions suivantes :
f = inline ( ’ 1+ sin (4* pi *x ) ’, ’x ’ );
[x , uh11 ]= bvp (0 ,1 ,9 ,1 ,0 ,0.1 ,f ,0 ,0);
[x , uh21 ]= bvp (0 ,1 ,19 ,1 ,0 ,0.1 ,f ,0 ,0);
[x , uh41 ]= bvp (0 ,1 ,39 ,1 ,0 ,0.1 ,f ,0 ,0);
Rappelons que h = (b − a)/(N + 1). Comme on ne connaît pas la solution
exacte, on estime la convergence en calculant sur un maillage très fin (par
exemple h = 1/1000) une solution approchée qu’on utilise en remplacement
de la solution exacte. On trouve :
[x , uhex ]= bvp (0 ,1 ,999 ,1 ,0 ,0.1 ,f ,0 ,0);
max ( abs ( uh11 - uhex (1:100: end )))
ans =
8.6782e-04
max(abs(uh21-uhex(1:50:end)))
ans =
2.0422e-04
max(abs(uh41-uhex(1:25:end)))
ans =
5.2789e-05
En divisant h par deux, l’erreur est divisée par 4, ce qui montre que la convergence est d’ordre 2 par rapport à h.
Solution 8.6 On peut modifier le Programme 8.1 pour imposer des conditions
aux limites de Neumann. On propose une implémentation possible dans le
Programme 9.4.