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9 Solutions des exercices
0
20
40
60
80
100
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
Figure 9.5. Approximations d’une valeur propre de module maximal de la
matrice de la Solution 6.5 calculées par la méthode de la puissance
Solution 6.5 La méthode de la puissance appliquée à la matrice A donne une
suite oscillante composée de valeurs approchées d’une valeur propre de module
maximal (voir Figure 9.5). Ce comportement est dû au fait que la matrice A
a deux valeurs propres distinctes de module maximal.
Solution 6.6 Comme les valeurs propres d’une matrice réelle symétrique sont
réelles, elles se trouvent dans un intervalle fermé borné [λa, λb]. Notre but est
d’estimer λa et λb. Pour calculer une valeur propre de module maximal de A,
on utilise le Programme 6.1 :
A = w i l kins on(7);
x0= ones (7 ,1); tol =1.e -15; nmax =100;
[ lambdab ,x , iter ]= eigpower (A , tol , nmax , x0 );
Après 35 itérations, on obtient lambdab=3.76155718183189. Comme λa est
la valeur propre de A la plus éloignée de λb, on la calcule en appliquant la
méthode de la puissance à la matrice Ab = A − λbI, c’est-à-dire en calculant la
valeur propre de module maximal de la matrice Ab, puis on pose λa = λ + λb.
Les instructions :
[ lambda ,x , iter ]= eigpower (A - lambdab * eye (7) ,tol , nmax , x0 );
lambdaa = lambda + lambdab
donnent lambdaa =-1.12488541976457 après 33 itérations.
Ces résultats sont des approximations satisfaisantes des valeurs propres extrémales de A
Solution 6.7 Commençons par considérer la matrice A. On constate qu’il y a
un disque de lignes isolé centré en x = 9 de rayon 1 qui, d’après la Proposition
6.1, ne peut contenir qu’une valeur propre (disons λ1). Donc λ1 ∈ R, et même
plus précisément λ1 ∈]8, 10[. De plus, d’après la Figure 9.6, à droite, on voit
que A possède deux autres disques de colonnes isolés centrés en x = 2 et x = 4,
et de rayon 1/2. Donc A a deux autres valeurs propres réelles λ2 ∈]1.5, 2.5[ et
λ3 ∈]3.4, 4.5[. Comme tous les coefficients de A sont réels, la quatrième valeur
propre est aussi réelle.
Considérons à présent la matrice B qui n’admet qu’un disque de colonnes
isolé (voir Figure 9.6, à droite), centré en x = −5 et de rayon 1/2. D’après
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Figure 9.5. Approximations d’une valeur propre de module maximal de la
matrice de la Solution 6.5 calculées par la méthode de la puissance
Solution 6.5 La méthode de la puissance appliquée à la matrice A donne une
suite oscillante composée de valeurs approchées d’une valeur propre de module
maximal (voir Figure 9.5). Ce comportement est dû au fait que la matrice A
a deux valeurs propres distinctes de module maximal.
Solution 6.6 Comme les valeurs propres d’une matrice réelle symétrique sont
réelles, elles se trouvent dans un intervalle fermé borné [λa, λb]. Notre but est
d’estimer λa et λb. Pour calculer une valeur propre de module maximal de A,
on utilise le Programme 6.1 :
A = w i l kins on(7);
x0= ones (7 ,1); tol =1.e -15; nmax =100;
[ lambdab ,x , iter ]= eigpower (A , tol , nmax , x0 );
Après 35 itérations, on obtient lambdab=3.76155718183189. Comme λa est
la valeur propre de A la plus éloignée de λb, on la calcule en appliquant la
méthode de la puissance à la matrice Ab = A − λbI, c’est-à-dire en calculant la
valeur propre de module maximal de la matrice Ab, puis on pose λa = λ + λb.
Les instructions :
[ lambda ,x , iter ]= eigpower (A - lambdab * eye (7) ,tol , nmax , x0 );
lambdaa = lambda + lambdab
donnent lambdaa =-1.12488541976457 après 33 itérations.
Ces résultats sont des approximations satisfaisantes des valeurs propres extrémales de A
Solution 6.7 Commençons par considérer la matrice A. On constate qu’il y a
un disque de lignes isolé centré en x = 9 de rayon 1 qui, d’après la Proposition
6.1, ne peut contenir qu’une valeur propre (disons λ1). Donc λ1 ∈ R, et même
plus précisément λ1 ∈]8, 10[. De plus, d’après la Figure 9.6, à droite, on voit
que A possède deux autres disques de colonnes isolés centrés en x = 2 et x = 4,
et de rayon 1/2. Donc A a deux autres valeurs propres réelles λ2 ∈]1.5, 2.5[ et
λ3 ∈]3.4, 4.5[. Comme tous les coefficients de A sont réels, la quatrième valeur
propre est aussi réelle.
Considérons à présent la matrice B qui n’admet qu’un disque de colonnes
isolé (voir Figure 9.6, à droite), centré en x = −5 et de rayon 1/2. D’après