9.6 Chapitre 6
333
b = [1:20] ’; AA =A ’* A; b =A ’* b; x0 = zeros (20 ,1);
[x , iter ]= itermeth ( AA ,b ,x0 ,100 ,1.e -10);
La méthode converge en 15 itérations. Un inconvénient de cette approche est
que le conditionnement de A
T A est en général plus grand que celui de A.
9.6 Chapitre 6
Solution 6.1 A1 : la méthode de la puissance converge en 34 itérations vers
2.00000000004989. A2 : en partant du même vecteur initial, la méthode de la
puissance converge en 457 itérations vers 1.99999999990611. On peut expliquer
cette vitesse de convergence plus faible en observant que les deux plus grandes
valeurs propres sont très voisines. Enfin, pour la matrice A3 la méthode ne
converge pas car A3 possède deux valeurs propres distinctes (i et −i) de module
maximal.
Solution 6.2 La matrice de Leslie associée aux valeurs du tableau est donnée
par
A =
⎡
⎢
⎢
⎣
0 0.5 0.8 0.3
0.2 0 0 0
0 0.4 0 0
0 0 0.8 0
⎤
⎥
⎥
⎦ .
En utilisant la méthode de la puissance, on trouve λ1 0.5353. La distribution
normalisée de cette population, pour divers intervalles d’âge, est donnée par
les composantes du vecteur propre unitaire correspondant, c’est-à-dire, x1
(0.8477, 0.3167, 0.2367, 0.3537)
T .
Solution 6.3 On récrit la donnée initiale sous la forme
y
(0) = β
(0)
α1x1 + α2x2 +
n
i=3
αixi
,
avec β
(0) = 1/x
(0) . Par des calculs similaires à ceux effectués à la Section
6.2, on trouve, à l’étape k
y
(k) = γ
k β
(k)
α1x1e
ikϑ + α2x2e
−ikϑ +
n
i=3
αi
λ
k
i
γ k xi
.
Donc, quand k → ∞, les deux premiers termes ne tendent pas vers zéro et,
les exposants ayant des signes opposés, la suite des y
(k) oscille et ne converge
pas.
Solution 6.4 Si A est inversible, d’après la relation Ax = λx, on a A
−1 Ax =
λA
−1 x, et donc A
−1 x = (1/λ)x.
333
b = [1:20] ’; AA =A ’* A; b =A ’* b; x0 = zeros (20 ,1);
[x , iter ]= itermeth ( AA ,b ,x0 ,100 ,1.e -10);
La méthode converge en 15 itérations. Un inconvénient de cette approche est
que le conditionnement de A
T A est en général plus grand que celui de A.
9.6 Chapitre 6
Solution 6.1 A1 : la méthode de la puissance converge en 34 itérations vers
2.00000000004989. A2 : en partant du même vecteur initial, la méthode de la
puissance converge en 457 itérations vers 1.99999999990611. On peut expliquer
cette vitesse de convergence plus faible en observant que les deux plus grandes
valeurs propres sont très voisines. Enfin, pour la matrice A3 la méthode ne
converge pas car A3 possède deux valeurs propres distinctes (i et −i) de module
maximal.
Solution 6.2 La matrice de Leslie associée aux valeurs du tableau est donnée
par
A =
⎡
⎢
⎢
⎣
0 0.5 0.8 0.3
0.2 0 0 0
0 0.4 0 0
0 0 0.8 0
⎤
⎥
⎥
⎦ .
En utilisant la méthode de la puissance, on trouve λ1 0.5353. La distribution
normalisée de cette population, pour divers intervalles d’âge, est donnée par
les composantes du vecteur propre unitaire correspondant, c’est-à-dire, x1
(0.8477, 0.3167, 0.2367, 0.3537)
T .
Solution 6.3 On récrit la donnée initiale sous la forme
y
(0) = β
(0)
α1x1 + α2x2 +
n
i=3
αixi
,
avec β
(0) = 1/x
(0) . Par des calculs similaires à ceux effectués à la Section
6.2, on trouve, à l’étape k
y
(k) = γ
k β
(k)
α1x1e
ikϑ + α2x2e
−ikϑ +
n
i=3
αi
λ
k
i
γ k xi
.
Donc, quand k → ∞, les deux premiers termes ne tendent pas vers zéro et,
les exposants ayant des signes opposés, la suite des y
(k) oscille et ne converge
pas.
Solution 6.4 Si A est inversible, d’après la relation Ax = λx, on a A
−1 Ax =
λA
−1 x, et donc A
−1 x = (1/λ)x.