322
9 Solutions des exercices
9.4 Chapitre 4
Solution 4.1 On écrit le développement de Taylor de f à l’ordre 2 au point x0
f (x1) = f (x0) + hf
(x0) +
h 2
2 f
(x0) +
h 3
6 f
(ξ1),
f (x2) = f (x0) + 2hf
(x0) + 2h
2 f
(x0) +
4h 3
3 f
(ξ2),
où ξ1 ∈]x0, x1[ et ξ2 ∈]x0, x2[. En remplaçant ces deux expressions dans la
première relation de (4.11), on trouve
1
2h
[−3f (x0) + 4f (x1) − f (x2)] = f
(x0) +
h
2
3
[f
(ξ1) − 2f
(ξ2)],
on en déduit le résultat cherché pour un certain ξ0 ∈]x0, x2[. On procède de
même pour la relation en xn.
Solution 4.2 En écrivant le développement de Taylor d’ordre 2 de f (¯ x ± h)
en ¯
x, on a
f (¯ x + h) = f (¯ x) + hf
(¯ x) +
h
2
2
f
(¯ x) +
h
3
6
f
(ξ),
f (¯ x − h) = f (¯ x) − hf
(¯ x) +
h
2
2
f
(¯ x) −
h
3
6
f
(η),
pour ξ ∈]¯ x, ¯
x+h[ et η ∈]¯ x−h, ¯
x[. Par soustraction et division par 2h on obtient
la relation (4.10) qui est une approximation d’ordre 2 de f
(x).
Solution 4.3 En supposant f ∈ C
4 et en procédant comme à la Solution 4.2,
on obtient les erreurs suivantes (où ξ1, ξ2 et ξ3 sont des points de l’intervalle)
a. −
1
4
f
(4) (ξ)h
3 , b. −
1
12
f
(4) (ξ)h
3 , c.
1
6
f
(4) (ξ)h
3 .
Solution 4.4 Avec l’approximation (4.9), on obtient les valeurs suivantes
t (mois) 0
0.5
1
1 .5
2
2 .5
3
δn
−−
78
45
19
7
3 −−
n
−− 77.91 39.16 15.36 5.91 1.99 −−
On voit, en comparant avec les valeurs exactes de n
(t), que les valeurs calculées
sont assez précises.
Solution 4.5 On peut majorer l’erreur de quadrature par
(b − a)
3 /(24M
2 ) max
x∈[a,b]
|f
(x)|,
où [a, b] est l’intervalle d’intégration et M le nombre (inconnu) de sousintervalles.
La fonction f1 est infiniment dérivable. On déduit du graphe de f
1 que
|f
1 (x)| ≤ 2 sur l’intervalle d’intégration. Ainsi, l’erreur d’intégration pour f1
est inférieure à 10
−4 dès que 2 · 5
3 /(24M
2 ) < 10
−4 , c’est-à-dire M > 322.
9 Solutions des exercices
9.4 Chapitre 4
Solution 4.1 On écrit le développement de Taylor de f à l’ordre 2 au point x0
f (x1) = f (x0) + hf
(x0) +
h 2
2 f
(x0) +
h 3
6 f
(ξ1),
f (x2) = f (x0) + 2hf
(x0) + 2h
2 f
(x0) +
4h 3
3 f
(ξ2),
où ξ1 ∈]x0, x1[ et ξ2 ∈]x0, x2[. En remplaçant ces deux expressions dans la
première relation de (4.11), on trouve
1
2h
[−3f (x0) + 4f (x1) − f (x2)] = f
(x0) +
h
2
3
[f
(ξ1) − 2f
(ξ2)],
on en déduit le résultat cherché pour un certain ξ0 ∈]x0, x2[. On procède de
même pour la relation en xn.
Solution 4.2 En écrivant le développement de Taylor d’ordre 2 de f (¯ x ± h)
en ¯
x, on a
f (¯ x + h) = f (¯ x) + hf
(¯ x) +
h
2
2
f
(¯ x) +
h
3
6
f
(ξ),
f (¯ x − h) = f (¯ x) − hf
(¯ x) +
h
2
2
f
(¯ x) −
h
3
6
f
(η),
pour ξ ∈]¯ x, ¯
x+h[ et η ∈]¯ x−h, ¯
x[. Par soustraction et division par 2h on obtient
la relation (4.10) qui est une approximation d’ordre 2 de f
(x).
Solution 4.3 En supposant f ∈ C
4 et en procédant comme à la Solution 4.2,
on obtient les erreurs suivantes (où ξ1, ξ2 et ξ3 sont des points de l’intervalle)
a. −
1
4
f
(4) (ξ)h
3 , b. −
1
12
f
(4) (ξ)h
3 , c.
1
6
f
(4) (ξ)h
3 .
Solution 4.4 Avec l’approximation (4.9), on obtient les valeurs suivantes
t (mois) 0
0.5
1
1 .5
2
2 .5
3
δn
−−
78
45
19
7
3 −−
n
−− 77.91 39.16 15.36 5.91 1.99 −−
On voit, en comparant avec les valeurs exactes de n
(t), que les valeurs calculées
sont assez précises.
Solution 4.5 On peut majorer l’erreur de quadrature par
(b − a)
3 /(24M
2 ) max
x∈[a,b]
|f
(x)|,
où [a, b] est l’intervalle d’intégration et M le nombre (inconnu) de sousintervalles.
La fonction f1 est infiniment dérivable. On déduit du graphe de f
1 que
|f
1 (x)| ≤ 2 sur l’intervalle d’intégration. Ainsi, l’erreur d’intégration pour f1
est inférieure à 10
−4 dès que 2 · 5
3 /(24M
2 ) < 10
−4 , c’est-à-dire M > 322.