9.3 Chapitre 3
321
−60
−40
−20
0
20
40
60
80
−3.4
−3.35
−3.3
−3.25
−3.2
−3.15
−3.1
−3.05
−3
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
−10
−5
0
5
10
15
20
25
30
35
Figure 9.4. A gauche, polynôme aux moindres carrés de degré 4 (trait plein)
comparé aux données de la première colonne de la Table 3.1 (Solution 3.10).
A droite, approximation trigonométrique obtenue avec les instructions de la
Solution 3.14. Les points indiquent les données expérimentales
K = 1.5, a4 = −6.492 10
−8 , a3 = −7.559 10
−7 , a2 = 3.788 10
−4 , a1 =
1.67310
−3 , a0 = 3.149 ;
K = 2, a4 = −1.050 10
−7 , a3 = 7.130 10
−8 , a2 = 7.044 10
−4 , a1 =
−3.828 10
−4 , a0 = 4.926 ;
K = 3, a4 = −2.319 10
−7 , a3 = 7.740 10
−7 , a2 = 1.419 10
−3 , a1 =
−2.574 10
−3 , a0 = 7.315.
Sur la Figure 9.4, à gauche, on représente le graphe du polynôme calculé
en utilisant les données de la colonne K = 0.67 de la Table 3.1.
Solution 3.11 En reprenant les 3 premières instructions de la Solution 3.7
et en utilisant la commande polyfit, on trouve les valeurs suivantes (en 10
5
Kg) : 15280.12 en 1962 ; 27407.10 en 1977 ; 32019.01 en 1992, qui représentent
de bonnes approximations des valeurs réelles (respectivement 12380, 27403 et
32059).
Solution 3.12 On peut récrire les coefficients du système (3.27) en fonction
de la moyenne et de la variance en remarquant que la variance s’écrit v =
1
n+1
n
i=0 x
2
i − M
2 . Ainsi les coefficients de la première équation sont (n + 1)
et M , et ceux de la seconde sont M et (n + 1)(v + M
2 ).
Solution 3.13 L’équation de la droite de moindres carrés est y = a0 + a1x,
où a0 et a1 sont les solutions du système (3.27). La première équation de (3.27)
implique que le point d’abscisse M et d’ordonnée
n
i=0 yi/(n + 1), est sur la
droite de moindres carrés.
Solution 3.14 On peut utiliser la commande interpft :
d i s char ge = [0 35 0.125 5 0 5 1 0.5 0.125 0];
y = interpft ( discharge ,100);
Le graphe de la solution est tracé sur la Figure 9.4, à droite.
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−60
−40
−20
0
20
40
60
80
−3.4
−3.35
−3.3
−3.25
−3.2
−3.15
−3.1
−3.05
−3
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
−10
−5
0
5
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Figure 9.4. A gauche, polynôme aux moindres carrés de degré 4 (trait plein)
comparé aux données de la première colonne de la Table 3.1 (Solution 3.10).
A droite, approximation trigonométrique obtenue avec les instructions de la
Solution 3.14. Les points indiquent les données expérimentales
K = 1.5, a4 = −6.492 10
−8 , a3 = −7.559 10
−7 , a2 = 3.788 10
−4 , a1 =
1.67310
−3 , a0 = 3.149 ;
K = 2, a4 = −1.050 10
−7 , a3 = 7.130 10
−8 , a2 = 7.044 10
−4 , a1 =
−3.828 10
−4 , a0 = 4.926 ;
K = 3, a4 = −2.319 10
−7 , a3 = 7.740 10
−7 , a2 = 1.419 10
−3 , a1 =
−2.574 10
−3 , a0 = 7.315.
Sur la Figure 9.4, à gauche, on représente le graphe du polynôme calculé
en utilisant les données de la colonne K = 0.67 de la Table 3.1.
Solution 3.11 En reprenant les 3 premières instructions de la Solution 3.7
et en utilisant la commande polyfit, on trouve les valeurs suivantes (en 10
5
Kg) : 15280.12 en 1962 ; 27407.10 en 1977 ; 32019.01 en 1992, qui représentent
de bonnes approximations des valeurs réelles (respectivement 12380, 27403 et
32059).
Solution 3.12 On peut récrire les coefficients du système (3.27) en fonction
de la moyenne et de la variance en remarquant que la variance s’écrit v =
1
n+1
n
i=0 x
2
i − M
2 . Ainsi les coefficients de la première équation sont (n + 1)
et M , et ceux de la seconde sont M et (n + 1)(v + M
2 ).
Solution 3.13 L’équation de la droite de moindres carrés est y = a0 + a1x,
où a0 et a1 sont les solutions du système (3.27). La première équation de (3.27)
implique que le point d’abscisse M et d’ordonnée
n
i=0 yi/(n + 1), est sur la
droite de moindres carrés.
Solution 3.14 On peut utiliser la commande interpft :
d i s char ge = [0 35 0.125 5 0 5 1 0.5 0.125 0];
y = interpft ( discharge ,100);
Le graphe de la solution est tracé sur la Figure 9.4, à droite.