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9 Solutions des exercices
1960
1965
1970
1975
1980
1985
1990
1995
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
x 10
4
−1
−0.5
0
0.5
1
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
Figure 9.3. A gauche, les splines cubiques s3 (trait plein), s3d (trait discontinu) et s3n (pointillés) pour les données de l’Exercice 3.7. Les cercles désignent
les valeurs utilisées pour l’interpolation. A droite, polynôme d’interpolation
(trait discontinu) et spline d’interpolation cubique (trait plein) associés aux
données perturbées (Solution 3.8). Remarquer les oscillations importantes du
polynôme d’interpolation près des extrémités de l’intervalle
sont également précises à l’extérieur de l’intervalle d’interpolation (voir Figure
9.3, à gauche). Au contraire, le polynôme d’interpolation présente de grandes
oscillations au voisinage de l’extrémité et sous-estime la production de −7768.5
×10
6 Kg en 1962.
Solution 3.8 Le polynôme d’interpolation p et la spline s3 peuvent être calculées avec les instructions suivantes :
pert = 1.e -04;
x =[ -1:2/20:1]; y = sin (2* pi* x )+( -1).^[1:21]* pert;
z =[ -1:0.01:1]; c = polyfit (x ,y ,20);
p = polyval (c ,z ); s3 = spline (x ,y , z );
Avec les données non perturbées (pert=0) les graphes de p et s3 sont indiscernables de celui de la fonction considérée. Ce n’est plus du tout le cas avec
les données perturbées (pert=1.e-04). En particulier, le polynôme d’interpolation présente de fortes oscillations aux extrémités de l’intervalle, tandis
que la spline demeure quasiment inchangée (voir Figure 9.3, à droite). Cet
exemple montre que l’approximation par splines est en général moins sensible
aux perturbations que le polynôme d’interpolation de Lagrange global.
Solution 3.9 Si n = m, en posant ˜
f = Πnf on trouve que le premier membre
de (3.25) est nul. Ainsi dans ce cas, Πnf est la solution du problème de
moindres carrés. Comme le polynôme d’interpolation est unique, on en déduit que c’est l’unique solution du problème aux moindres carrés.
Solution 3.10 Les coefficients des polynômes cherchés (obtenus avec la commande polyfit et en n’affichant que 4 chiffres) sont
K = 0.67, a4 = 7.211 10
−8 , a3 = −6.088 10
−7 , a2 = −2.988 10
−4 , a1 =
1.650 10
−3 , a0 = −3.030 ;
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−0.5
0
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−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
Figure 9.3. A gauche, les splines cubiques s3 (trait plein), s3d (trait discontinu) et s3n (pointillés) pour les données de l’Exercice 3.7. Les cercles désignent
les valeurs utilisées pour l’interpolation. A droite, polynôme d’interpolation
(trait discontinu) et spline d’interpolation cubique (trait plein) associés aux
données perturbées (Solution 3.8). Remarquer les oscillations importantes du
polynôme d’interpolation près des extrémités de l’intervalle
sont également précises à l’extérieur de l’intervalle d’interpolation (voir Figure
9.3, à gauche). Au contraire, le polynôme d’interpolation présente de grandes
oscillations au voisinage de l’extrémité et sous-estime la production de −7768.5
×10
6 Kg en 1962.
Solution 3.8 Le polynôme d’interpolation p et la spline s3 peuvent être calculées avec les instructions suivantes :
pert = 1.e -04;
x =[ -1:2/20:1]; y = sin (2* pi* x )+( -1).^[1:21]* pert;
z =[ -1:0.01:1]; c = polyfit (x ,y ,20);
p = polyval (c ,z ); s3 = spline (x ,y , z );
Avec les données non perturbées (pert=0) les graphes de p et s3 sont indiscernables de celui de la fonction considérée. Ce n’est plus du tout le cas avec
les données perturbées (pert=1.e-04). En particulier, le polynôme d’interpolation présente de fortes oscillations aux extrémités de l’intervalle, tandis
que la spline demeure quasiment inchangée (voir Figure 9.3, à droite). Cet
exemple montre que l’approximation par splines est en général moins sensible
aux perturbations que le polynôme d’interpolation de Lagrange global.
Solution 3.9 Si n = m, en posant ˜
f = Πnf on trouve que le premier membre
de (3.25) est nul. Ainsi dans ce cas, Πnf est la solution du problème de
moindres carrés. Comme le polynôme d’interpolation est unique, on en déduit que c’est l’unique solution du problème aux moindres carrés.
Solution 3.10 Les coefficients des polynômes cherchés (obtenus avec la commande polyfit et en n’affichant que 4 chiffres) sont
K = 0.67, a4 = 7.211 10
−8 , a3 = −6.088 10
−7 , a2 = −2.988 10
−4 , a1 =
1.650 10
−3 , a0 = −3.030 ;