9.3 Chapitre 3
319
En posant [prix2002]= polyval(c,181), on trouve que le prix estimé du
magazine en novembre 2002 est environ de 11.24 euros.
Solution 3.5 Dans ce cas particulier, comme il y a 4 noeuds d’interpolation,
la spline d’interpolation cubique, calculée ici avec la commande spline, coïncide avec le polynôme d’interpolation. En effet, la spline interpole les valeurs
nodales, ses dérivées première et seconde sont continues et sa dérivée troisième
est continue aux noeuds intérieurs x1 et x2, grâce à la condition not-a-knot
utilisée par MATLAB. Ce ne serait pas le cas avec la spline d’interpolation
cubique naturelle.
Solution 3.6 On utilise les instructions suivantes :
T = [ 4 : 4:2 0];
rho = [ 1 0 00.7 794 , 1 0 0 0.6427 , 1 0 0 0.28 05 , 9 9 9.7 165 , 9 9 8. 9700] ;
Tnew = [ 6 : 4 :18]; format long e ;
rhonew = spline (T , rho , Tnew )
rhonew =
Columns 1 through 2
1.000740787500000e+03
1.000488237500000e+03
Columns 3 through 4
1.000022450000000e+03
9.993649250000000e+02
Une comparaison avec les mesures montre que l’approximation est très précise.
Noter que l’équation d’état de l’eau de mer comporte une dépendance d’ordre
quatre de la densité par rapport à la température (UNESCO, 1980). Cependant, le coefficient devant la puissance quatrième de T est de l’ordre de 10
−9
et la spline cubique fournit une bonne approximation des valeurs mesurées.
Solution 3.7 On compare les résultats obtenus avec la spline d’interpolation
cubique calculée avec la commande MATLAB spline (notée s3), la spline
d’interpolation naturelle (s3n) et la spline d’interpolation ayant des dérivées
premières nulles aux extrémités de l’intervalle d’interpolation (s3d) (calculée
avec le Programme 3.1). On utilise les instructions suivantes :
annees =[1965 1970 1980 1985 1990 1991];
p r o du ction =[17769 24001 25961 34336 29036 33417];
z = [ 1 9 6 2:0 .1: 199 2];
s3 = spline ( annees , production ,z );
s3n = c u b i cspli ne( annees , production ,z );
s3d = c u b i cspli ne( annees , production ,z ,0 ,[0 0]);
Dans le tableau suivant, on rassemble les valeurs calculées (exprimées en milliers de tonnes de biens)
Année
1962
1977
1992
s3
514.6
2264.2
4189.4
s3n
1328.5
2293.4
3779.8
s3d
2431.3
2312.6
2216.6
Une comparaison avec les données réelles (1238, 2740.3 et 3205.9 milliers de
tonnes, respectivement) montre que les valeurs prédites par la spline naturelle
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En posant [prix2002]= polyval(c,181), on trouve que le prix estimé du
magazine en novembre 2002 est environ de 11.24 euros.
Solution 3.5 Dans ce cas particulier, comme il y a 4 noeuds d’interpolation,
la spline d’interpolation cubique, calculée ici avec la commande spline, coïncide avec le polynôme d’interpolation. En effet, la spline interpole les valeurs
nodales, ses dérivées première et seconde sont continues et sa dérivée troisième
est continue aux noeuds intérieurs x1 et x2, grâce à la condition not-a-knot
utilisée par MATLAB. Ce ne serait pas le cas avec la spline d’interpolation
cubique naturelle.
Solution 3.6 On utilise les instructions suivantes :
T = [ 4 : 4:2 0];
rho = [ 1 0 00.7 794 , 1 0 0 0.6427 , 1 0 0 0.28 05 , 9 9 9.7 165 , 9 9 8. 9700] ;
Tnew = [ 6 : 4 :18]; format long e ;
rhonew = spline (T , rho , Tnew )
rhonew =
Columns 1 through 2
1.000740787500000e+03
1.000488237500000e+03
Columns 3 through 4
1.000022450000000e+03
9.993649250000000e+02
Une comparaison avec les mesures montre que l’approximation est très précise.
Noter que l’équation d’état de l’eau de mer comporte une dépendance d’ordre
quatre de la densité par rapport à la température (UNESCO, 1980). Cependant, le coefficient devant la puissance quatrième de T est de l’ordre de 10
−9
et la spline cubique fournit une bonne approximation des valeurs mesurées.
Solution 3.7 On compare les résultats obtenus avec la spline d’interpolation
cubique calculée avec la commande MATLAB spline (notée s3), la spline
d’interpolation naturelle (s3n) et la spline d’interpolation ayant des dérivées
premières nulles aux extrémités de l’intervalle d’interpolation (s3d) (calculée
avec le Programme 3.1). On utilise les instructions suivantes :
annees =[1965 1970 1980 1985 1990 1991];
p r o du ction =[17769 24001 25961 34336 29036 33417];
z = [ 1 9 6 2:0 .1: 199 2];
s3 = spline ( annees , production ,z );
s3n = c u b i cspli ne( annees , production ,z );
s3d = c u b i cspli ne( annees , production ,z ,0 ,[0 0]);
Dans le tableau suivant, on rassemble les valeurs calculées (exprimées en milliers de tonnes de biens)
Année
1962
1977
1992
s3
514.6
2264.2
4189.4
s3n
1328.5
2293.4
3779.8
s3d
2431.3
2312.6
2216.6
Une comparaison avec les données réelles (1238, 2740.3 et 3205.9 milliers de
tonnes, respectivement) montre que les valeurs prédites par la spline naturelle