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9 Solutions des exercices
Solution 2.18 En gardant les autres paramètres inchangés, la méthode converge après 52 itérations vers 0.641182411025299, qui diffère du résultat précédent (de la Solution 2.11) de moins de 10
−6 . Cependant, l’allure de la fonction,
assez plate au voisinage de x = 0, suggère que le résultat précédent pourrait
être plus précis. Sur la Figure 9.2, à droite, on montre le graphe de f sur
]0.5, 0.7[ obtenu à l’aide des instructions suivantes :
f = inline ( ’x ^3 -3*x ^2*2^( -x) + 3*x *4^( -x) - 8^( -x ) ’ );
fplot (f ,[0.5 0.7]);
grid on
9.3 Chapitre 3
Solution 3.1 Comme x ∈]x0, xn[, il existe un intervalle Ii =]xi−1, xi[ tel que
x ∈ Ii. On voit facilement que maxx∈I i |(x − xi−1)(x − xi)| = h
2 /4. Si on
majore |x − xi+1| par 2h, |x − xi−2| par 3h ainsi de suite, on obtient l’inégalité
(3.6).
Solution 3.2 Dans tous les cas, on a n = 4, on doit donc estimer la dérivée cinquième de chaque fonction dans l’intervalle considéré. On trouve :
max x∈[−1,1] |f
(5)
1 ||1.18, max x∈[−1,1] |f
(5)
2 ||1.54, max x∈[−π/2,π/2] |f
(5)
3 ||1.41.
Grâce à la formule (3.7), les erreurs correspondantes sont donc respectivement
bornées par 0.0018, 0.0024 et 0.0211.
Solution 3.3 Avec la commande polyfit de MATLAB, on calcule les polynômes d’interpolation de degré 3 dans les deux cas :
annees =[1975 1980 1985 1990];
ouest =[72.8 74.2 75.2 76.4];
est =[70.2 70.2 70.3 71.2];
couest = polyfit ( annees , ouest ,3);
cest = polyfit ( annees , est ,3);
estouest = polyval ( couest ,[1977 1983 1988]);
estest = polyval ( cest ,[1977 1983 1988]);
Les valeurs estimées en 1977, 1983 et 1988 sont :
estouest =
73.4464
74.8096
75.8576
estest =
70.2328
70.2032
70.6992
pour l’Europe de l’ouest et de l’est respectivement.
Solution 3.4 On choisit le mois comme unité de temps. La date initiale t0 = 1
correspond à novembre 1987, et t7 = 157 à novembre 2000. On calcule les coefficients du polynôme d’interpolation des prix avec les instructions suivantes :
temps = [1 14 37 63 87 99 109 157];
prix = [4.5 5 6 6.5 7 7.5 8 8];
[ c] = polyfit ( temps , prix ,7);
9 Solutions des exercices
Solution 2.18 En gardant les autres paramètres inchangés, la méthode converge après 52 itérations vers 0.641182411025299, qui diffère du résultat précédent (de la Solution 2.11) de moins de 10
−6 . Cependant, l’allure de la fonction,
assez plate au voisinage de x = 0, suggère que le résultat précédent pourrait
être plus précis. Sur la Figure 9.2, à droite, on montre le graphe de f sur
]0.5, 0.7[ obtenu à l’aide des instructions suivantes :
f = inline ( ’x ^3 -3*x ^2*2^( -x) + 3*x *4^( -x) - 8^( -x ) ’ );
fplot (f ,[0.5 0.7]);
grid on
9.3 Chapitre 3
Solution 3.1 Comme x ∈]x0, xn[, il existe un intervalle Ii =]xi−1, xi[ tel que
x ∈ Ii. On voit facilement que maxx∈I i |(x − xi−1)(x − xi)| = h
2 /4. Si on
majore |x − xi+1| par 2h, |x − xi−2| par 3h ainsi de suite, on obtient l’inégalité
(3.6).
Solution 3.2 Dans tous les cas, on a n = 4, on doit donc estimer la dérivée cinquième de chaque fonction dans l’intervalle considéré. On trouve :
max x∈[−1,1] |f
(5)
1 ||1.18, max x∈[−1,1] |f
(5)
2 ||1.54, max x∈[−π/2,π/2] |f
(5)
3 ||1.41.
Grâce à la formule (3.7), les erreurs correspondantes sont donc respectivement
bornées par 0.0018, 0.0024 et 0.0211.
Solution 3.3 Avec la commande polyfit de MATLAB, on calcule les polynômes d’interpolation de degré 3 dans les deux cas :
annees =[1975 1980 1985 1990];
ouest =[72.8 74.2 75.2 76.4];
est =[70.2 70.2 70.3 71.2];
couest = polyfit ( annees , ouest ,3);
cest = polyfit ( annees , est ,3);
estouest = polyval ( couest ,[1977 1983 1988]);
estest = polyval ( cest ,[1977 1983 1988]);
Les valeurs estimées en 1977, 1983 et 1988 sont :
estouest =
73.4464
74.8096
75.8576
estest =
70.2328
70.2032
70.6992
pour l’Europe de l’ouest et de l’est respectivement.
Solution 3.4 On choisit le mois comme unité de temps. La date initiale t0 = 1
correspond à novembre 1987, et t7 = 157 à novembre 2000. On calcule les coefficients du polynôme d’interpolation des prix avec les instructions suivantes :
temps = [1 14 37 63 87 99 109 157];
prix = [4.5 5 6 6.5 7 7.5 8 8];
[ c] = polyfit ( temps , prix ,7);