9.2 Chapitre 2
317
0
0.5
1
1.5
2
−10
−5
0
5
10
15
0.5
0.55
0.6
0.65
0.7
−9
−8
−7
−6
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
x 10
−3
Figure 9.2. A gauche, graphe de f (x) = x
3 +4x
2 −10 pour x ∈ [0, 2] (Solution
2.16). A droite, graphe de f (x) = x
3 −3x
2 2
−x +3x4
−x −8
−x pour x ∈ [0.5, 0.7]
(Solution 2.18)
Solution 2.15 Si α est un zéro de f de multiplicité m, il existe une fonction
h telle que h(α) = 0 et f (x) = h(x)(x − α)
m . En calculant la dérivée première
de la fonction d’itération φN de la méthode de Newton, on a
φ
N (x) = 1 −
[f
(x)]
2 − f (x)f
(x)
[f (x)] 2
=
f (x)f
(x)
[f (x)] 2 .
En exprimant f , f
et f
à l’aide des fonctions h(x) et (x − α)
m , on trouve
limx→α φ
N (x) = 1− 1/m, donc φ
N (α) = 0 si et seulement si m = 1. Par conséquent, si m = 1 la méthode converge au moins quadratiquement, d’après (2.9).
Si m > 1 la méthode est convergente et d’ordre 1, d’après la Proposition 2.1.
Solution 2.16 Examinons le graphe de f avec les commandes suivantes :
f = inline ( ’x ^3+4* x ^2 -10’ ); fplot (f ,[ -10 ,10]); grid on ;
fplot (f ,[ -5 ,5]); grid on ;
fplot (f ,[0 ,2]); grid on; axis ([0 ,2 , -10 ,15])
On voit que f n’a qu’un zéro réel, approximativement égal à 1.36 (voir Figure
9.2, à gauche, pour le dernier graphe obtenu avec les instructions précédentes).
La fonction d’itération et sa dérivée sont données par
φ(x) =
2x
3 + 4x
2 + 10
3x 2 + 8x
= −
f (x)
3x 2 + 8x
+ x,
φ
(x) =
(6x
2 + 8x)(3x
2 + 8x) − (6x + 8)(2x
3 + 4x
2 + 10)
(3x 2 + 8x) 2
=
(6x + 8)f (x)
(3x 2 + 8x) 2 ,
et φ(α) = α. On constate facilement que φ
(α) = 0, puisque f (α) = 0. Par
conséquent, la méthode proposée converge (au moins) quadratiquement.
Solution 2.17 La convergence de la méthode proposée est au moins d’ordre
deux puisque φ
(α) = 0.