9.4 Chapitre 4
323
La fonction f2 est aussi infiniment dérivable. Comme max x∈[0,π] |f
2 (x)| =
√
2e
3π/4 , l’erreur d’intégration est inférieure à 10
−4 dès que M > 439. Ces
inégalités surestiment en fait les erreurs d’intégration. En effet, le nombre
(effectif) d’intervalles qui permet d’obtenir une erreur inférieure à la tolérance
10
−4 est beaucoup plus faible que celui prédit par ces résultats (par exemple,
ce nombre vaut 71 pour la fonction f1). Enfin, on notera que, comme f3 n’est
pas dérivable en x = 0 et x = 1, nos estimations théoriques d’erreur ne sont
pas valides.
Solution 4.6 Sur chaque intervalle Ik, k = 1, . . . , M, l’erreur est H
3 /24f
(ξk)
avec ξk ∈ [xk−1, xk] et donc l’erreur globale est H
3 /24
M
k=1 f
(ξk). Comme
f
est une fonction continue sur [a, b], il existe un point ξ ∈ [a, b] tel que
f
(ξ) =
1
M
M
k=1 f
(ξk). Avec ce résultat, et en utilisant que MH = b − a, on
établit l’équation (4.14).
Solution 4.7 Cet effet est dû à l’accumulation des erreurs locales sur chaque
sous-intervalle.
Solution 4.8 Par construction, la formule du point milieu intègre les constantes
de manière exacte. Pour montrer que c’est aussi le cas pour les polynômes de
degré 1, il suffit de vérifier que I(x) = IPM (x). On a effectivement
I(x) =
b
a
x dx =
b
2 − a
2
2
, IPM (x) = (b − a)
b + a
2
.
Solution 4.9 Pour la fonction f1, on trouve M = 71 avec la formule du
trapèze et seulement M = 8 avec la formule composite de Gauss-Legendre
avec n = 1 (pour cette formule on peut utiliser le Programme 9.1). L’intérêt
de cette dernière formule est évident.
Programme 9.1. gausslegendre : formule de quadrature composite de GaussLegendre, avec n = 1
function intGL = g a u s sleg endr e(a ,b ,f ,M , varargin )
y = [ -1/sqrt (3) ,1/ sqrt (3)];
H2 = (b -a )/(2* M );
z = [ a :2* H2 :b ];
zM = (z (1: end -1)+ z (2: end ))*0.5;
x = [ zM + H2* y (1) , zM+ H2 *y (2)];
f = feval (f ,x , varargin {:});
intGL = H2* sum( f );
return
Solution 4.10 La relation (4.18) donne une erreur de quadrature pour la formule composite du trapèze avec H = H1 égale à CH
2
1 , avec C = −
b − a
12
f
(ξ).
Si f
ne varie “pas trop”, on peut supposer que l’erreur avec H = H2 se comporte aussi comme CH
2
2 . Ainsi, en égalisant les deux expressions
323
La fonction f2 est aussi infiniment dérivable. Comme max x∈[0,π] |f
2 (x)| =
√
2e
3π/4 , l’erreur d’intégration est inférieure à 10
−4 dès que M > 439. Ces
inégalités surestiment en fait les erreurs d’intégration. En effet, le nombre
(effectif) d’intervalles qui permet d’obtenir une erreur inférieure à la tolérance
10
−4 est beaucoup plus faible que celui prédit par ces résultats (par exemple,
ce nombre vaut 71 pour la fonction f1). Enfin, on notera que, comme f3 n’est
pas dérivable en x = 0 et x = 1, nos estimations théoriques d’erreur ne sont
pas valides.
Solution 4.6 Sur chaque intervalle Ik, k = 1, . . . , M, l’erreur est H
3 /24f
(ξk)
avec ξk ∈ [xk−1, xk] et donc l’erreur globale est H
3 /24
M
k=1 f
(ξk). Comme
f
est une fonction continue sur [a, b], il existe un point ξ ∈ [a, b] tel que
f
(ξ) =
1
M
M
k=1 f
(ξk). Avec ce résultat, et en utilisant que MH = b − a, on
établit l’équation (4.14).
Solution 4.7 Cet effet est dû à l’accumulation des erreurs locales sur chaque
sous-intervalle.
Solution 4.8 Par construction, la formule du point milieu intègre les constantes
de manière exacte. Pour montrer que c’est aussi le cas pour les polynômes de
degré 1, il suffit de vérifier que I(x) = IPM (x). On a effectivement
I(x) =
b
a
x dx =
b
2 − a
2
2
, IPM (x) = (b − a)
b + a
2
.
Solution 4.9 Pour la fonction f1, on trouve M = 71 avec la formule du
trapèze et seulement M = 8 avec la formule composite de Gauss-Legendre
avec n = 1 (pour cette formule on peut utiliser le Programme 9.1). L’intérêt
de cette dernière formule est évident.
Programme 9.1. gausslegendre : formule de quadrature composite de GaussLegendre, avec n = 1
function intGL = g a u s sleg endr e(a ,b ,f ,M , varargin )
y = [ -1/sqrt (3) ,1/ sqrt (3)];
H2 = (b -a )/(2* M );
z = [ a :2* H2 :b ];
zM = (z (1: end -1)+ z (2: end ))*0.5;
x = [ zM + H2* y (1) , zM+ H2 *y (2)];
f = feval (f ,x , varargin {:});
intGL = H2* sum( f );
return
Solution 4.10 La relation (4.18) donne une erreur de quadrature pour la formule composite du trapèze avec H = H1 égale à CH
2
1 , avec C = −
b − a
12
f
(ξ).
Si f
ne varie “pas trop”, on peut supposer que l’erreur avec H = H2 se comporte aussi comme CH
2
2 . Ainsi, en égalisant les deux expressions