1.5 Fonctions réelles
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.* et .ˆ qui opèrent composante par composante. Par exemple, l’instruction fun=@(x)[1/(1+x ˆ2)] est remplacée par fun=@(x)[1./(1+x.ˆ2)].
La commande plot peut être utilisée à la place de fplot, à condition plot
que la fonction mathématique ait été évaluée sur un ensemble de points.
Les instructions suivantes :
>> x=linspace(-2,3,100);
>> y=exp(x).*(sin(x).^2)-0.4;
>> plot(x,y,’c’,’Linewidth’,2); grid on
produisent un graphe en échelle linéaire. Plus précisément, la commande
linspace(a,b,n) crée un tableau ligne de n points équirépartis sur [a, b]. linspace
La commande plot(x,y,’c’,’Linewidth’,2) crée une courbe affine
par morceaux reliant les points (x i , y i ) (pour i = 1, . . . , n) tracée avec
une ligne de couleur cyan et de 2 points d’épaisseur.
1.5.1 Les zéros
On dit que α est un zéro de la fonction réelle f si f(α) = 0. Il est dit
simple si f
(α) = 0, et multiple sinon.
On peut déterminer les zéros réels d’une fonction à partir de son
graphe (avec une certaine tolérance). Le calcul direct de tous les zéros
d’une fonction donnée n’est pas toujours facile. Pour les fonctions polynomiales de degré n à coefficients réels, c’est-à-dire de la forme
p n (x) = a 0 + a 1 x + a 2 x
2 + . . . + a n x
n =
n
k=0
a k x
k , a k ∈ R, a n = 0,
on peut calculer le zéro unique α = −a 0 /a 1 , quand n = 1 (le graphe de
p 1 est une ligne droite), ou les deux zéros α + et α − ∈ C, éventuellement
confondus, quand n = 2 (le graphe de p 2 est une parabole)
α ± =
−a 1 ±
a
2
1 − 4a 0 a 2
2a 2
.
Mais il n’y a pas de formule explicite donnant les racines d’un polynôme
quelconque p n quand n ≥ 5.
Nous noterons P n l’espace des polynômes de degré inférieur ou égal
à n,
p n (x) =
n
k=0
a k x
k
(1.9)
où les a k sont des coefficients donnés, réels ou complexes.
En général, le nombre de zéros d’une fonction ne peut pas être déterminé a priori. Dans le cas particulier des fonctions polynomiales, le
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.* et .ˆ qui opèrent composante par composante. Par exemple, l’instruction fun=@(x)[1/(1+x ˆ2)] est remplacée par fun=@(x)[1./(1+x.ˆ2)].
La commande plot peut être utilisée à la place de fplot, à condition plot
que la fonction mathématique ait été évaluée sur un ensemble de points.
Les instructions suivantes :
>> x=linspace(-2,3,100);
>> y=exp(x).*(sin(x).^2)-0.4;
>> plot(x,y,’c’,’Linewidth’,2); grid on
produisent un graphe en échelle linéaire. Plus précisément, la commande
linspace(a,b,n) crée un tableau ligne de n points équirépartis sur [a, b]. linspace
La commande plot(x,y,’c’,’Linewidth’,2) crée une courbe affine
par morceaux reliant les points (x i , y i ) (pour i = 1, . . . , n) tracée avec
une ligne de couleur cyan et de 2 points d’épaisseur.
1.5.1 Les zéros
On dit que α est un zéro de la fonction réelle f si f(α) = 0. Il est dit
simple si f
(α) = 0, et multiple sinon.
On peut déterminer les zéros réels d’une fonction à partir de son
graphe (avec une certaine tolérance). Le calcul direct de tous les zéros
d’une fonction donnée n’est pas toujours facile. Pour les fonctions polynomiales de degré n à coefficients réels, c’est-à-dire de la forme
p n (x) = a 0 + a 1 x + a 2 x
2 + . . . + a n x
n =
n
k=0
a k x
k , a k ∈ R, a n = 0,
on peut calculer le zéro unique α = −a 0 /a 1 , quand n = 1 (le graphe de
p 1 est une ligne droite), ou les deux zéros α + et α − ∈ C, éventuellement
confondus, quand n = 2 (le graphe de p 2 est une parabole)
α ± =
−a 1 ±
a
2
1 − 4a 0 a 2
2a 2
.
Mais il n’y a pas de formule explicite donnant les racines d’un polynôme
quelconque p n quand n ≥ 5.
Nous noterons P n l’espace des polynômes de degré inférieur ou égal
à n,
p n (x) =
n
k=0
a k x
k
(1.9)
où les a k sont des coefficients donnés, réels ou complexes.
En général, le nombre de zéros d’une fonction ne peut pas être déterminé a priori. Dans le cas particulier des fonctions polynomiales, le