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8 Approximation numérique des problèmes aux limites
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
−3
−2
−1
0
1
2
3
x
u
décentré
Lax-We
exacte
Figure 8.18. Solution exacte et solutions numériques du problème (8.47), à
l’instant t = 5, avec les données de l’Exercice 8.13 et un nombre de CFL valant
0.8
Exercice 8.13 Résoudre le problème (8.47) avec a = 1, x ∈]0, 0.5[, t ∈]0, 1[,
la donnée initiale u
0 (x) = 2 cos(4πx) + sin(20πx) et la condition aux limites
u(0, t) = 2cos(4πt) − sin(20πt) pour t ∈]0, 1[. Utiliser le schéma de LaxWendroff (8.57) et le schéma décentré (8.59). Prendre un nombre de CFL égal
à 0.5. Vérifier expérimentalement que le schéma de Lax-Wendroff est d’ordre
deux en Δx et Δt, et que le schéma décentré est d’ordre 1. Pour évaluer
l’erreur, utiliser la norme · ·Δ,2.
Exercice 8.14 Sur la Figure 8.18, on a représenté la solution exacte du problème (8.47) à l’instant t = 5 et les solutions numériques obtenues avec le
schéma de Lax-Wendroff (8.57), le schéma décentré (8.59), et les données de
l’Exercice 8.13. Sachant que le nombre de CFL vaut 0.8 et que Δt = 5 · 10
−3 ,
commenter les coefficients de dissipation et de dispersion obtenues.