8.6 Exercices
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Exercice 8.6 Utiliser la méthode des différences finis pour résoudre le problème (8.17) dans le cas où on impose aux extrémités une condition de Neumann
u
(a) = α, u
(b) = β.
Utiliser les formules (4.11) pour discrétiser u
(a) et u
(b).
Exercice 8.7 Sur une grille uniforme, vérifier que le second membre du système (8.14) associé au schéma aux différences finies centrées coïncide, à un
facteur h près, avec celui de la méthode des éléments finis (8.27) dès lors qu’on
calcule les intégrales sur les éléments Ij−1 et Ij avec la formule des trapèzes.
Exercice 8.8 Vérifier que div∇φ = Δφ, où ∇ est l’opérateur gradient (qui
associe à une fonction u le vecteur dont les composantes sont les dérivées
partielles premières de u).
Exercice 8.9 (Thermodynamique) On considère une plaque carrée de
coté 20 cm et de conductivité thermique k = 0.2 cal/(sec·cm·C). On note
Q = 5 cal/(cm
3 ·sec) la production de chaleur par unité de surface. La température T = T (x, y) de la plaque satisfait l’équation −ΔT = Q/k. En supposant
que T est nulle sur trois cotés de la plaque et est égale à 1 sur le quatrième
coté, déterminer la température T au centre de la plaque.
Exercice 8.10 Vérifier que la solution du problème (8.72), (8.74)–(8.75) (avec
f = 0) satisfait l’identité
b
a
(ut(x, t))
2 dx + c
b
a
(ux(x, t))
2 dx =
(8.83)
b
a
(v0(x))
2 dx + c
b
a
(u0,x(x))
2 dx,
si u0(a) = u0(b) = 0.
Exercice 8.11 Montrer que la solution numérique obtenue par le schéma
d’Euler implicite centré (8.62) est inconditionnellement stable, c’est-à-dire
∀Δt > 0,
u
n Δ,2 ≤ ≤u
0 Δ,2
∀n ≥ 0.
(8.84)
Exercice 8.12 Montrer que la solution numérique obtenue par le schéma décentré (8.59) vérifie l’estimation
u
n Δ,∞ ≤ ≤u
0 Δ,∞
∀n ≥ 0,
(8.85)
dès lors que la condition de CFL est vérifiée. L’inégalité (8.85) est appelée
principe du maximum discret.
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Exercice 8.6 Utiliser la méthode des différences finis pour résoudre le problème (8.17) dans le cas où on impose aux extrémités une condition de Neumann
u
(a) = α, u
(b) = β.
Utiliser les formules (4.11) pour discrétiser u
(a) et u
(b).
Exercice 8.7 Sur une grille uniforme, vérifier que le second membre du système (8.14) associé au schéma aux différences finies centrées coïncide, à un
facteur h près, avec celui de la méthode des éléments finis (8.27) dès lors qu’on
calcule les intégrales sur les éléments Ij−1 et Ij avec la formule des trapèzes.
Exercice 8.8 Vérifier que div∇φ = Δφ, où ∇ est l’opérateur gradient (qui
associe à une fonction u le vecteur dont les composantes sont les dérivées
partielles premières de u).
Exercice 8.9 (Thermodynamique) On considère une plaque carrée de
coté 20 cm et de conductivité thermique k = 0.2 cal/(sec·cm·C). On note
Q = 5 cal/(cm
3 ·sec) la production de chaleur par unité de surface. La température T = T (x, y) de la plaque satisfait l’équation −ΔT = Q/k. En supposant
que T est nulle sur trois cotés de la plaque et est égale à 1 sur le quatrième
coté, déterminer la température T au centre de la plaque.
Exercice 8.10 Vérifier que la solution du problème (8.72), (8.74)–(8.75) (avec
f = 0) satisfait l’identité
b
a
(ut(x, t))
2 dx + c
b
a
(ux(x, t))
2 dx =
(8.83)
b
a
(v0(x))
2 dx + c
b
a
(u0,x(x))
2 dx,
si u0(a) = u0(b) = 0.
Exercice 8.11 Montrer que la solution numérique obtenue par le schéma
d’Euler implicite centré (8.62) est inconditionnellement stable, c’est-à-dire
∀Δt > 0,
u
n Δ,2 ≤ ≤u
0 Δ,2
∀n ≥ 0.
(8.84)
Exercice 8.12 Montrer que la solution numérique obtenue par le schéma décentré (8.59) vérifie l’estimation
u
n Δ,∞ ≤ ≤u
0 Δ,∞
∀n ≥ 0,
(8.85)
dès lors que la condition de CFL est vérifiée. L’inégalité (8.85) est appelée
principe du maximum discret.