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8 Approximation numérique des problèmes aux limites
aux dérivées partielles avec des éléments finis de degré 1, par exemple
pour discrétiser un problème en espace.
Parmi les autres techniques répandues, mentionnons les méthodes
spectrales (voir p.ex. [CHQZ06], [CHQZ07], [Fun92], [BM92], [KS99]) et
la méthode des volumes finis (voir, p.ex., [Krö98], [Hir88] et [LeV02]).
Octave 8.1 Le package bim d’Octave-Forge offre la plupart des fonctionnalités principales de la toolbox pde, même si la syntaxe utilisée
n’est en général pas compatible avec celle de MATLAB.
8.6 Exercices
Exercice 8.1 Vérifier que la matrice (8.15) est définie positive.
Exercice 8.2 Vérifier que les valeurs propres de la matrice A∈ R
N ×N , définie
en (8.15), sont
λj = 2(1 − cos(jθ)), j = 1, . . . , N,
et que les vecteurs propres correspondant sont
qj = (sin(jθ), sin(2jθ), . . . , sin(N jθ))
T ,
où θ = π/(N + 1). En déduire que K(A) est proportionnel à h
−2 .
Exercice 8.3 Montrer que la quantité (8.12) fournit une approximation du
second ordre de u
(¯ x) par rapport à h.
Exercice 8.4 Calculer la matrice et le second membre du schéma numérique
qu’on a proposé pour approcher le problème (8.17).
Exercice 8.5 Utiliser la méthode des différences finies pour approcher le problème aux limites
⎧
⎨
⎩
−u
+
k
T
u =
w
T
dans ]0, 1[,
u(0) = u(1) = 0,
où u = u(x) représente le déplacement vertical d’une corde de longueur 1,
soumise à un chargement transverse de densité w(x) par unité de longueur. T
est la tension et k un coefficient relié à l’élasticité de la corde. Dans le cas où
w(x) = 1 + sin(4πx), T = 1 et k = 0.1, calculer la solution correspondant à
h = 1/i, i = 10, 20, 40, et en déduire l’ordre de précision de la méthode.
8 Approximation numérique des problèmes aux limites
aux dérivées partielles avec des éléments finis de degré 1, par exemple
pour discrétiser un problème en espace.
Parmi les autres techniques répandues, mentionnons les méthodes
spectrales (voir p.ex. [CHQZ06], [CHQZ07], [Fun92], [BM92], [KS99]) et
la méthode des volumes finis (voir, p.ex., [Krö98], [Hir88] et [LeV02]).
Octave 8.1 Le package bim d’Octave-Forge offre la plupart des fonctionnalités principales de la toolbox pde, même si la syntaxe utilisée
n’est en général pas compatible avec celle de MATLAB.
8.6 Exercices
Exercice 8.1 Vérifier que la matrice (8.15) est définie positive.
Exercice 8.2 Vérifier que les valeurs propres de la matrice A∈ R
N ×N , définie
en (8.15), sont
λj = 2(1 − cos(jθ)), j = 1, . . . , N,
et que les vecteurs propres correspondant sont
qj = (sin(jθ), sin(2jθ), . . . , sin(N jθ))
T ,
où θ = π/(N + 1). En déduire que K(A) est proportionnel à h
−2 .
Exercice 8.3 Montrer que la quantité (8.12) fournit une approximation du
second ordre de u
(¯ x) par rapport à h.
Exercice 8.4 Calculer la matrice et le second membre du schéma numérique
qu’on a proposé pour approcher le problème (8.17).
Exercice 8.5 Utiliser la méthode des différences finies pour approcher le problème aux limites
⎧
⎨
⎩
−u
+
k
T
u =
w
T
dans ]0, 1[,
u(0) = u(1) = 0,
où u = u(x) représente le déplacement vertical d’une corde de longueur 1,
soumise à un chargement transverse de densité w(x) par unité de longueur. T
est la tension et k un coefficient relié à l’élasticité de la corde. Dans le cas où
w(x) = 1 + sin(4πx), T = 1 et k = 0.1, calculer la solution correspondant à
h = 1/i, i = 10, 20, 40, et en déduire l’ordre de précision de la méthode.