8.5 Ce qu’on ne vous a pas dit
305
Résumons-nous
1. Les problèmes aux limites en dimension 1 sont posés sur des intervalles ; des conditions aux limites sur la solution (ou sa dérivée)
doivent être prescrites aux extrémités de l’intervalle ;
2. l’approximation numérique peut s’effectuer soit par différences finies
(obtenues en tronquant des développements de Taylor) soit par éléments finis (obtenus à partir d’une formulation faible du problème
différentiel ; dans ce contexte, les fonctions tests et la solution sont
polynomiales par morceaux) ;
3. les problèmes multidimensionnels peuvent être abordés par des techniques analogues. Les éléments finis utilisent encore des fonctions polynomiales par morceaux. En dimension deux, les “morceaux” sont
des triangles ou des quadrilatères constituant une grille qui partitionne le domaine spatial ;
4. les matrices issues des méthodes de différences finies et d’éléments
finis sont creuses et mal conditionnées ;
5. les problèmes aux valeurs initiales contiennent des dérivées en temps
de la solution qui sont discrétisées par différences finies, explicites ou
implicites ;
6. quand on utilise des schémas explicites, des conditions de stabilité
doivent être vérifiées : le pas de temps doit typiquement être borné
par une quantité impliquant le pas d’espace. Quand on utilise des
schémas implicites, un système linéaire algébrique (similaire à ceux
obtenus pour les problèmes stationnaires) doit être résolu à chaque
pas de temps ;
7. dans ce chapitre, nous avons présenté quelques problèmes linéaires
simples de type elliptique, parabolique et hyperbolique. Pour un traitement plus exhaustif de ce sujet nous renvoyons le lecteur à la bibliographie présentée dans la prochaine section.
8.5 Ce qu’on ne vous a pas dit
On pourrait se contenter de dire qu’on ne vous a presque rien dit :
le champ de l’analyse numérique consacré à l’approximation des équations aux dérivées partielles est si vaste qu’un ouvrage entier ne permettrait que d’aborder les concepts essentiels ! Voir par exemple [TW98],
[EEHJ96].
Signalons que la méthode des éléments finis est de nos jours probablement la plus répandue pour résoudre numériquement des équations aux
dérivées partielles (voir p.ex. [Qua09], [QV94], [Bra97], [BS01]). La toolbox pde de MATLAB permet de résoudre une large famille d’équations
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Résumons-nous
1. Les problèmes aux limites en dimension 1 sont posés sur des intervalles ; des conditions aux limites sur la solution (ou sa dérivée)
doivent être prescrites aux extrémités de l’intervalle ;
2. l’approximation numérique peut s’effectuer soit par différences finies
(obtenues en tronquant des développements de Taylor) soit par éléments finis (obtenus à partir d’une formulation faible du problème
différentiel ; dans ce contexte, les fonctions tests et la solution sont
polynomiales par morceaux) ;
3. les problèmes multidimensionnels peuvent être abordés par des techniques analogues. Les éléments finis utilisent encore des fonctions polynomiales par morceaux. En dimension deux, les “morceaux” sont
des triangles ou des quadrilatères constituant une grille qui partitionne le domaine spatial ;
4. les matrices issues des méthodes de différences finies et d’éléments
finis sont creuses et mal conditionnées ;
5. les problèmes aux valeurs initiales contiennent des dérivées en temps
de la solution qui sont discrétisées par différences finies, explicites ou
implicites ;
6. quand on utilise des schémas explicites, des conditions de stabilité
doivent être vérifiées : le pas de temps doit typiquement être borné
par une quantité impliquant le pas d’espace. Quand on utilise des
schémas implicites, un système linéaire algébrique (similaire à ceux
obtenus pour les problèmes stationnaires) doit être résolu à chaque
pas de temps ;
7. dans ce chapitre, nous avons présenté quelques problèmes linéaires
simples de type elliptique, parabolique et hyperbolique. Pour un traitement plus exhaustif de ce sujet nous renvoyons le lecteur à la bibliographie présentée dans la prochaine section.
8.5 Ce qu’on ne vous a pas dit
On pourrait se contenter de dire qu’on ne vous a presque rien dit :
le champ de l’analyse numérique consacré à l’approximation des équations aux dérivées partielles est si vaste qu’un ouvrage entier ne permettrait que d’aborder les concepts essentiels ! Voir par exemple [TW98],
[EEHJ96].
Signalons que la méthode des éléments finis est de nos jours probablement la plus répandue pour résoudre numériquement des équations aux
dérivées partielles (voir p.ex. [Qua09], [QV94], [Bra97], [BS01]). La toolbox pde de MATLAB permet de résoudre une large famille d’équations