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8 Approximation numérique des problèmes aux limites
0
2
4
6
8
10
−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
t = 0sec
t = 2sec
0
2
4
6
8
10
−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
t = 6sec
t = 10sec
Figure 8.17. Propagation d’une impulsion de tension avec l’équation des
ondes (trait discontinu) et l’équation des télégraphistes (trait plein). A gauche,
le trait plein fin représente la donnée initiale u0(x)
(8.9). L’effet de la dissipation apparaît clairement dans la solution de l’équation
des télégraphistes. .
Plutôt que de discrétiser l’équation scalaire du second ordre (8.72)
on peut discrétiser le système équivalent du premier ordre (8.76).
Quand f = 0, le schéma de Lax-Wendroff et le schéma décentré pour
le système hyperbolique (8.76) sont définis comme suit :
1. schéma de Lax-Wendroff
ω
n+1
j
= ω
n
j −
λ
2
A(ω
n
j+1 − ω
n
j−1 )
+
λ
2
2
A
2 (ω
n
j+1 − 2ω
n
j + ω
n
j−1 );
(8.80)
2. schéma décentré (upwind en anglais)
ω
n+1
j
= ω
n
j −
λ
2
A(ω
n
j+1 − ω
n
j−1 )
+
λ
2
|A|(ω
n
j+1 − 2ω
n
j + ω
n
j−1 ),
(8.81)
où |A| = T|Λ|T
−1 et |Λ| est la matrice diagonale des modules des
valeurs propres de A.
Le schéma décentré est du premier ordre (en temps et en espace) ;
celui de Lax-Wendroff est du second ordre.
Concernant la stabilité, tout ce qui a été écrit à la Section 8.3.1 se
généralise en remplaçant la condition de CFL (8.65) par
Δt <
h
ρ(A)
.
(8.82)
Comme d’habitude ρ(A) désigne le rayon spectral de A. Pour la preuve de
ces résultats, voir p.ex. [QV94], [LeV02], [GR96], [QSS07, Chapitre 13].
Voir Exercices 8.8–8.9.