8.4 Equation des ondes
303
−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
−0.5
−0.4
−0.3
−0.2
−0.1
0
0.1
0.2
Figure 8.16. Comparaison entre les solutions obtenues avec la méthode de
Newmark pour un pas de discrétisation en espace Δx = 0.04 et des pas de
temps Δt = 0.154 (trait discontinu), Δt = 0.075 (trait plein) et Δt = 0.0375
(trait mixte)
qui est obtenu en discrétisant les dérivées en temps et en espace par le
schéma centré (8.12).
Les schémas de Newmark (8.78) et saute-mouton (8.79) sont tous
les deux d’ordre deux en Δt et Δx. Le schéma saute-mouton est stable
sous la condition de CFL Δt ≤ Δx/
√
c. Le schéma de Newmark est
inconditionnellement stable si 2ζ ≥ θ ≥
1
2
(voir [Joh90]).
Exemple 8.7 En utilisant le Programme 8.4, on étudie l’évolution de la donnée initiale u0(x) = e
−10x 2 pour x ∈] − 2, 2[, en fixant f = 0 et c = 1 dans
(8.72). On suppose que v0 = 0 et qu’on a des conditions aux limites de Dirichlet homogènes. Sur la Figure 8.16, on compare les solutions obtenues au
temps t = 3 en utilisant Δx = 0.04 et des pas de temps Δt = 0.15 (trait discontinu), Δt = 0.075 (trait plein) et Δt = 0.0375 (trait mixte). Les paramètres
de la méthode de Newmark sont θ = 1/2 et ζ = 0.25, ce qui correspond à une
méthode du second ordre inconditionnellement stable.
Exemple 8.8 (Communications) Dans cet exemple, on considère l’équation (8.9) pour modéliser la transmission d’une impulsion de tension par une
ligne télégraphique. L’équation, qui combine équation de diffusion et équation des ondes, prend en compte des phénomènes de propagation à vitesse
finie. Sur la Figure 8.17, on observe comment évolue une “bosse” (plus précisément une B-spline cubique, voir [QSS07, Section 8.7.2]) centrée en x = 3
et non nulle sur l’intervalle ]1,5[, quand elle est transportée par l’équation des
ondes (8.72) (trait discontinu) ou par l’équation des télégraphistes (8.9) avec
c = 1, α = 0.5 et β = 0.04 (trait plein) sur l’intervalle ]0, 10[. On choisit
une vitesse initiale vérifiant v 0(x) = −cu
0 (x) pour l’équation des ondes, et
v0(x) = −cu
0 (x) − α/2u0(x) pour l’équation des télégraphistes, de sorte que la
bosse est transportée à la vitesse c. On résout les deux équations avec le schéma
de Newmark, Δx = 0.025, Δt = 0.1, ζ = 1/4 et θ = 1/2. Pour l’équation des
ondes, on utilise le Programme 8.4, et pour l’équation des télégraphistes on
utilise un autre programme implémentant le schéma de Newmark (7.67) pour
303
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−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
−0.5
−0.4
−0.3
−0.2
−0.1
0
0.1
0.2
Figure 8.16. Comparaison entre les solutions obtenues avec la méthode de
Newmark pour un pas de discrétisation en espace Δx = 0.04 et des pas de
temps Δt = 0.154 (trait discontinu), Δt = 0.075 (trait plein) et Δt = 0.0375
(trait mixte)
qui est obtenu en discrétisant les dérivées en temps et en espace par le
schéma centré (8.12).
Les schémas de Newmark (8.78) et saute-mouton (8.79) sont tous
les deux d’ordre deux en Δt et Δx. Le schéma saute-mouton est stable
sous la condition de CFL Δt ≤ Δx/
√
c. Le schéma de Newmark est
inconditionnellement stable si 2ζ ≥ θ ≥
1
2
(voir [Joh90]).
Exemple 8.7 En utilisant le Programme 8.4, on étudie l’évolution de la donnée initiale u0(x) = e
−10x 2 pour x ∈] − 2, 2[, en fixant f = 0 et c = 1 dans
(8.72). On suppose que v0 = 0 et qu’on a des conditions aux limites de Dirichlet homogènes. Sur la Figure 8.16, on compare les solutions obtenues au
temps t = 3 en utilisant Δx = 0.04 et des pas de temps Δt = 0.15 (trait discontinu), Δt = 0.075 (trait plein) et Δt = 0.0375 (trait mixte). Les paramètres
de la méthode de Newmark sont θ = 1/2 et ζ = 0.25, ce qui correspond à une
méthode du second ordre inconditionnellement stable.
Exemple 8.8 (Communications) Dans cet exemple, on considère l’équation (8.9) pour modéliser la transmission d’une impulsion de tension par une
ligne télégraphique. L’équation, qui combine équation de diffusion et équation des ondes, prend en compte des phénomènes de propagation à vitesse
finie. Sur la Figure 8.17, on observe comment évolue une “bosse” (plus précisément une B-spline cubique, voir [QSS07, Section 8.7.2]) centrée en x = 3
et non nulle sur l’intervalle ]1,5[, quand elle est transportée par l’équation des
ondes (8.72) (trait discontinu) ou par l’équation des télégraphistes (8.9) avec
c = 1, α = 0.5 et β = 0.04 (trait plein) sur l’intervalle ]0, 10[. On choisit
une vitesse initiale vérifiant v 0(x) = −cu
0 (x) pour l’équation des ondes, et
v0(x) = −cu
0 (x) − α/2u0(x) pour l’équation des télégraphistes, de sorte que la
bosse est transportée à la vitesse c. On résout les deux équations avec le schéma
de Newmark, Δx = 0.025, Δt = 0.1, ζ = 1/4 et θ = 1/2. Pour l’équation des
ondes, on utilise le Programme 8.4, et pour l’équation des télégraphistes on
utilise un autre programme implémentant le schéma de Newmark (7.67) pour