8.4 Equation des ondes
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8.4 Equation des ondes
On considère à présent l’équation hyperbolique du second ordre suivante,
en dimension un
∂
2 u
∂t 2 − c
∂
2 u
∂x 2 = f
(8.72)
où c est une constante positive donnée.
Quand f = 0, la solution générale de (8.72) correspond aux ondes
progressives de d’Alembert
u(x, t) = ψ 1 (
√
ct − x) + ψ 2 (
√
ct + x),
(8.73)
où ψ 1 et ψ 2 sont des fonctions arbitraires.
Dans la suite, on considère le problème (8.72) pour x ∈]a, b[ et t > 0.
On le complète donc avec les conditions initiales
u(x, 0) = u 0 (x) et
∂u
∂t
(x, 0) = v 0 (x), x ∈ (a, b),
(8.74)
et les conditions aux limites
u(a, t) = 0 et u(b, t) = 0, t > 0.
(8.75)
Par exemple, u peut représenter le déplacement transverse d’une corde
vibrante de longueur b − a, fixée à ses extrémités et soumise à une densité de force verticale f. Le paramètre c est alors un coefficient positif
dépendant de la masse et de la raideur de la corde, et les fonctions u 0 (x)
et v 0 (x) représentent respectivement le déplacement et la vitesse initiale
de la corde.
Le changement de variables
ω 1 =
∂u
∂x
,
ω 2 =
∂u
∂t
,
transforme (8.72) en un système du premier ordre
∂ω
∂t
+ A
∂ω
∂x
= f ,
x∈]a, b[, t > 0
(8.76)
où
ω =
ω 1
ω 2
, A =
0 −1
−c 0
, f =
0
f
.
Les données initiales sont ω 1 (x, 0) = u
0 (x) et ω 2 (x, 0) = v 0 (x) pour
x ∈]a, b[.