298
8 Approximation numérique des problèmes aux limites
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0.95
0.96
0.97
0.98
0.99
1
1.01
1.02
1.03
1.04
d (k)
φ k = π/10
CFL
Lax-Fr
Lax-We
décentré
Euler imp
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0.7
0.8
0.9
1
1.1
1.2
1.3
1.4
d (k)
φ k = π/4
CFL
Lax-Fr
Lax-We
décentré
Euler imp
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
d (k)
φ k = kΔx
CFL=0.5
Lax-Fr
Lax-We
décentré
Euler imp
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
d (k)
φ k = kΔx
CFL=0.8
Lax-Fr
Lax-We
décentré
Euler imp
Figure 8.15. Coefficients de dispersion
où u h (0) = u
0
h ∈ V h est une certaine approximation de la donnée initiale
u
0 , p.ex. son interpolation polynomiale par morceaux.
Pour la discrétisation en temps de (8.70), on peut à nouveau utiliser des schémas aux différences finies. Par exemple, un schéma d’Euler
implicite s’écrit pour tout n ≥ 0 : trouver u
n+1
h
∈ V h tel que
1
Δt
β
α
(u
n+1
h
− u
n
h )v h dx +
β
α
a
∂u
n+1
h
∂x
v h dx = 0 ∀v h ∈ V
in
h , (8.71)
avec u
n+1
h
(α) = ϕ
n+1 .
Si ϕ = 0, on peut montrer que
u
n
h L 2 (α,β) ≤ ≤u
0
h L 2 (α,β) ∀n ≥ 0,
ce qui signifie que le schéma d’Euler implicite est inconditionnellement
stable pour la norme v L 2 (α,β) =
β
α
v
2 (x)dx
1/2
.
Voir les Exercices 8.10–8.14.