8.3 Equations hyperboliques : un problème d’advection scalaire
297
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0.95
0.955
0.96
0.965
0.97
0.975
0.98
0.985
0.99
0.995
1
a(k)
φ k = π/10
CFL
Lax-Fr
Lax-We
décentré
Euler imp
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0.7
0.75
0.8
0.85
0.9
0.95
1
a(k)
φ k = π/4
CFL
Lax-Fr
Lax-We
décentré
Euler imp
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
a(k)
φ k = kΔx
CFL=0.5
Lax-Fr
Lax-We
décentré
Euler imp
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
a(k)
φ k = kΔx
CFL=0.8
Lax-Fr
Lax-We
décentré
Euler imp
Figure 8.14. Coefficients de dissipation
8.3.3 Eléments finis pour l’équation d’advection scalaire
Dans l’esprit de la Section 8.2.3, on peut définir une semi-discrétisation
de Galerkin du problème (8.47) de la manière suivante. Supposons que
a = a(x) > 0 ∀x ∈ [α, β], de sorte que le noeud x = α soit une frontière
entrante. Pour tout t > 0, on complète le système (8.47) avec la condition
aux limites
u(α, t) = ϕ(t),
t>0,
(8.69)
où ϕ est une fonction donnée de t.
On définit l’espace
V
in
h = {v h ∈ V h : v h (α) = 0},
et on considère l’approximation par éléments finis du problème (8.47),
(8.69) : pour t ∈]0, T [ trouver u h (t) ∈ V h tel que
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
β
α
∂u h (t)
∂t
v h dx +
β
α
a
∂u h (t)
∂x
v h dx = 0 ∀ v h ∈ V
in
h ,
u h (t) = ϕ(t)
en x = α,
(8.70)