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8 Approximation numérique des problèmes aux limites
Plus généralement, on peut considérer des systèmes de la forme (8.76)
où ω, f : R × [0, ∞[→ R
p sont deux fonctions vectorielles données et
A ∈ R
p×p est une matrice à coefficients constants. Le système est dit
hyperbolique si A est diagonalisable et si ses valeurs propres sont réelles,
c’est-à-dire s’il existe une matrice inversible T ∈ R
p×p telle que
A = TΛT
−1 ,
où Λ = diag(λ 1 , ..., λ p ) est la matrice diagonale constituée des valeurs
propres de A, et T = (v
1 , v
2 , . . . , v
p ) est la matrice dont les colonnes
sont les vecteurs propres à droite de A. Ainsi,
Av
k = λ k v
k ,
k= 1, . . . , p.
En introduisant les variables caractéristiques w = T
−1
ω, le système
(8.76) devient
∂w
∂t
+ Λ
∂w
∂x
= g,
où g = T
−1
f . Il s’agit d’un système de p équations scalaires indépendantes de la forme
∂w k
∂t
+ λ k
∂w k
∂x
= g k ,
k= 1, . . . , p.
Quand g k = 0, sa solution est donnée par w k (x, t) = w k (x − λ k t, 0),
k = 1, . . . , p. On peut donc écrire la solution ω = Tw du problème
(8.76) avec f = 0 de la manière suivante
ω(x, t) =
p
k=1
w k (x − λ k t, 0)v
k .
La courbe (x k (t), t) du plan (x, t) qui satisfait x
k (t) = λ k est par définition la k-ème courbe caractéristique (voir Section 8.3). L’inconnue w k
est constante le long de cette courbe. Ainsi ω(x, t) ne dépend que de la
donnée initiale aux points x − λ k t. C’est pour cette raison qu’on appelle
domaine de dépendance de la solution ω(x, t) l’ensemble des p points
constituant les “pieds” des caractéristiques issues du point (x, t)
D(t, x) = {x ∈ R : x = x − λ k t , k = 1, ..., p}.
(8.77)
Si (8.76) est posé sur un intervalle borné ]a, b[ au lieu de la droite réelle
toute entière, le point d’entrée pour chaque variable caractéristique w k
est déterminé par le signe de λ k . Ainsi, le nombre de conditions aux
limites qui doivent être imposées en x = a (resp. en x = b) est égal au
nombre de valeurs propres positives (resp. négatives).
8 Approximation numérique des problèmes aux limites
Plus généralement, on peut considérer des systèmes de la forme (8.76)
où ω, f : R × [0, ∞[→ R
p sont deux fonctions vectorielles données et
A ∈ R
p×p est une matrice à coefficients constants. Le système est dit
hyperbolique si A est diagonalisable et si ses valeurs propres sont réelles,
c’est-à-dire s’il existe une matrice inversible T ∈ R
p×p telle que
A = TΛT
−1 ,
où Λ = diag(λ 1 , ..., λ p ) est la matrice diagonale constituée des valeurs
propres de A, et T = (v
1 , v
2 , . . . , v
p ) est la matrice dont les colonnes
sont les vecteurs propres à droite de A. Ainsi,
Av
k = λ k v
k ,
k= 1, . . . , p.
En introduisant les variables caractéristiques w = T
−1
ω, le système
(8.76) devient
∂w
∂t
+ Λ
∂w
∂x
= g,
où g = T
−1
f . Il s’agit d’un système de p équations scalaires indépendantes de la forme
∂w k
∂t
+ λ k
∂w k
∂x
= g k ,
k= 1, . . . , p.
Quand g k = 0, sa solution est donnée par w k (x, t) = w k (x − λ k t, 0),
k = 1, . . . , p. On peut donc écrire la solution ω = Tw du problème
(8.76) avec f = 0 de la manière suivante
ω(x, t) =
p
k=1
w k (x − λ k t, 0)v
k .
La courbe (x k (t), t) du plan (x, t) qui satisfait x
k (t) = λ k est par définition la k-ème courbe caractéristique (voir Section 8.3). L’inconnue w k
est constante le long de cette courbe. Ainsi ω(x, t) ne dépend que de la
donnée initiale aux points x − λ k t. C’est pour cette raison qu’on appelle
domaine de dépendance de la solution ω(x, t) l’ensemble des p points
constituant les “pieds” des caractéristiques issues du point (x, t)
D(t, x) = {x ∈ R : x = x − λ k t , k = 1, ..., p}.
(8.77)
Si (8.76) est posé sur un intervalle borné ]a, b[ au lieu de la droite réelle
toute entière, le point d’entrée pour chaque variable caractéristique w k
est déterminé par le signe de λ k . Ainsi, le nombre de conditions aux
limites qui doivent être imposées en x = a (resp. en x = b) est égal au
nombre de valeurs propres positives (resp. négatives).