8.3 Equations hyperboliques : un problème d’advection scalaire
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x
u
Lax-Friedrichs CFL=0.8, φ k = π/4, t = 1
−0.5
0
0.5
1
1.5
−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x
u
Lax-Wendroff CFL=0.8, φ k = π/4, t = 1
−0.5
0
0.5
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1.5
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−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
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x
u
décentré CFL=0.8, φ k = π/4, t = 1
−0.5
0
0.5
1
1.5
−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x
u
Euler implicite CFL=0.8, φ k = π/4, t = 1
Figure 8.12. Solutions exacte (trait discontinu) et numérique (trait plein) du
problème (8.50) à t = 0.4, avec a = 1 et avec une donnée initiale définie par
(8.68) de longueur d’onde = 1/2
Sur les Figures 8.14 et 8.15, on représente respectivement les coefficients de dissipation et de dispersion en fonction du nombre de CFL (en
haut) et de la phase φ k = kΔx (en bas).
On remarque sur la Figure 8.14 que, quand CFL=0.8, le schéma
de Lax-Wendroff est le moins dissipatif, ce que confirme le tracé de la
solution numérique sur la Figure 8.13, pour φ k = π/10 et φ k = π/4.
Sur la Figure 8.15, on voit que pour CFL=0.8, le schéma décentré est
celui qui a la plus faible erreur de dispersion, et qu’il est légèrement en
avance de phase ; le schéma de Lax-Friederichs a une importante avance
de phase alors que les schémas de Lax-Wendroff et d’Euler implicite
centré ont un retard de phase. Ces conclusions sont confirmées par les
solutions numériques représentées sur la Figure 8.12.
On retiendra que le coefficient de dissipation est responsable de l’atténuation de l’amplitude de l’onde tandis que le coefficient de dispersion
entraîne une altération de sa vitesse de propagation.
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u
Lax-Friedrichs CFL=0.8, φ k = π/4, t = 1
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Lax-Wendroff CFL=0.8, φ k = π/4, t = 1
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décentré CFL=0.8, φ k = π/4, t = 1
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u
Euler implicite CFL=0.8, φ k = π/4, t = 1
Figure 8.12. Solutions exacte (trait discontinu) et numérique (trait plein) du
problème (8.50) à t = 0.4, avec a = 1 et avec une donnée initiale définie par
(8.68) de longueur d’onde = 1/2
Sur les Figures 8.14 et 8.15, on représente respectivement les coefficients de dissipation et de dispersion en fonction du nombre de CFL (en
haut) et de la phase φ k = kΔx (en bas).
On remarque sur la Figure 8.14 que, quand CFL=0.8, le schéma
de Lax-Wendroff est le moins dissipatif, ce que confirme le tracé de la
solution numérique sur la Figure 8.13, pour φ k = π/10 et φ k = π/4.
Sur la Figure 8.15, on voit que pour CFL=0.8, le schéma décentré est
celui qui a la plus faible erreur de dispersion, et qu’il est légèrement en
avance de phase ; le schéma de Lax-Friederichs a une importante avance
de phase alors que les schémas de Lax-Wendroff et d’Euler implicite
centré ont un retard de phase. Ces conclusions sont confirmées par les
solutions numériques représentées sur la Figure 8.12.
On retiendra que le coefficient de dissipation est responsable de l’atténuation de l’amplitude de l’onde tandis que le coefficient de dispersion
entraîne une altération de sa vitesse de propagation.