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8 Approximation numérique des problèmes aux limites
u(x j , t
n ) =
∞
k=−∞
α k e
ikjΔx (g k )
n , j ∈ Z, n ∈ N
(8.66)
avec g k = e
−iakΔt . La solution numérique u
n
j , calculée par un des schémas de la Section 8.3.1, s’écrit
u
n
j =
∞
k=−∞
α k e
ikjΔx (γ k )
n , j ∈ Z, n ∈ N.
(8.67)
L’expression des coefficients γ k ∈ C dépend du schéma utilisé ; par
exemple, pour le schéma (8.53), on montre que γ k = 1 − aλi sin(kΔx).
Alors que |g k | = 1 pour tout k ∈ Z, les valeurs |γ k | dépendent du
nombre de CFL aλ, et donc également des pas de discrétisation. En
posant · · Δ = · · Δ,2 , on montre qu’une condition nécessaire et
suffisante pour qu’un schéma numérique vérifie l’inégalité de stabilité
(8.63) est |γ k | ≤ 1, ∀k ∈ Z. On appelle a (k) = |γ k |/|g k | = |γ k | coefficient de dissipation (ou coefficient d’amplification) de la k−ème harmonique. Rappelons que la solution exacte de (8.47) est l’onde progressive
u(x, t) = u
0 (x − at) dont l’amplitude est indépendante du temps. Pour
l’approximation numérique (8.67), plus a (k) est petite, plus importante
sera l’atténuation de l’amplitude de l’onde c’est-à-dire plus importante
sera la dissipation numérique. De plus, si la condition de stabilité est
violée, alors l’amplitude de l’onde augmentera et la solution numérique
finira par exploser au bout d’un certain temps.
En plus de la dissipation, les schémas numériques introduisent aussi
de la dispersion, c’est-à-dire une avance ou un retard dans la propagation
de l’onde. Pour comprendre ce phénomène, écrivons g k et γ k sous la forme
suivante
g k = e
−iaλφk ,
γ k = |γ k |e
−iωΔt = |γ k |e
−i
ω
k λφk ,
φ k = kΔx étant la phase de la k−ème harmonique.
En comparant g k et γ k et en rappelant que a est la vitesse de propagation de l’onde “exacte”, on appelle coefficient de dispersion associée à
la k-ème harmonique la valeur d (k) =
ω
ak
=
ωΔt
φk aλ
.
Sur les Figures 8.12 et 8.13, on représente la solution exacte du problème (8.50) (pour a = 1) et les solutions numériques obtenues par
certains des schémas de la Section 8.3.1. La donnée initiale est
u
0 (x) =
sin(2πx//)
−1 ≤ x ≤
0
< x < 3,
(8.68)
où la longueur d’onde est = 1 (à gauche) ou = 1/2 (à droite). Dans les
deux cas le nombre de CFL vaut 0.8. Pour = 1, on prend Δx = /20 =
1/20, de sorte que φ k = 2πΔx// = π/10 et Δt = 1/25. Pour = 1/2 on
prend Δx = /8 = 1/16, de sorte que φ k = π/4 et Δt = 1/20.
8 Approximation numérique des problèmes aux limites
u(x j , t
n ) =
∞
k=−∞
α k e
ikjΔx (g k )
n , j ∈ Z, n ∈ N
(8.66)
avec g k = e
−iakΔt . La solution numérique u
n
j , calculée par un des schémas de la Section 8.3.1, s’écrit
u
n
j =
∞
k=−∞
α k e
ikjΔx (γ k )
n , j ∈ Z, n ∈ N.
(8.67)
L’expression des coefficients γ k ∈ C dépend du schéma utilisé ; par
exemple, pour le schéma (8.53), on montre que γ k = 1 − aλi sin(kΔx).
Alors que |g k | = 1 pour tout k ∈ Z, les valeurs |γ k | dépendent du
nombre de CFL aλ, et donc également des pas de discrétisation. En
posant · · Δ = · · Δ,2 , on montre qu’une condition nécessaire et
suffisante pour qu’un schéma numérique vérifie l’inégalité de stabilité
(8.63) est |γ k | ≤ 1, ∀k ∈ Z. On appelle a (k) = |γ k |/|g k | = |γ k | coefficient de dissipation (ou coefficient d’amplification) de la k−ème harmonique. Rappelons que la solution exacte de (8.47) est l’onde progressive
u(x, t) = u
0 (x − at) dont l’amplitude est indépendante du temps. Pour
l’approximation numérique (8.67), plus a (k) est petite, plus importante
sera l’atténuation de l’amplitude de l’onde c’est-à-dire plus importante
sera la dissipation numérique. De plus, si la condition de stabilité est
violée, alors l’amplitude de l’onde augmentera et la solution numérique
finira par exploser au bout d’un certain temps.
En plus de la dissipation, les schémas numériques introduisent aussi
de la dispersion, c’est-à-dire une avance ou un retard dans la propagation
de l’onde. Pour comprendre ce phénomène, écrivons g k et γ k sous la forme
suivante
g k = e
−iaλφk ,
γ k = |γ k |e
−iωΔt = |γ k |e
−i
ω
k λφk ,
φ k = kΔx étant la phase de la k−ème harmonique.
En comparant g k et γ k et en rappelant que a est la vitesse de propagation de l’onde “exacte”, on appelle coefficient de dispersion associée à
la k-ème harmonique la valeur d (k) =
ω
ak
=
ωΔt
φk aλ
.
Sur les Figures 8.12 et 8.13, on représente la solution exacte du problème (8.50) (pour a = 1) et les solutions numériques obtenues par
certains des schémas de la Section 8.3.1. La donnée initiale est
u
0 (x) =
sin(2πx//)
−1 ≤ x ≤
0
< x < 3,
(8.68)
où la longueur d’onde est = 1 (à gauche) ou = 1/2 (à droite). Dans les
deux cas le nombre de CFL vaut 0.8. Pour = 1, on prend Δx = /20 =
1/20, de sorte que φ k = 2πΔx// = π/10 et Δt = 1/25. Pour = 1/2 on
prend Δx = /8 = 1/16, de sorte que φ k = π/4 et Δt = 1/20.