8.3 Equations hyperboliques : un problème d’advection scalaire
293
Courant, Friedrichs et Lewy [CFL28] ont prouvé qu’une condition nécessaire et suffisante pour qu’un schéma explicite de la forme (8.52) soit
stable est que les pas de discrétisation en espace et en temps vérifient la
condition
|aλ| ≤ 1, i.e. Δt ≤
Δx
|a|
(8.65)
qu’on appelle condition de CFL. Le nombre adimensionnel aλ (a est une
vitesse) est appelé nombre de CFL. Si a n’est pas constant, la condition
de CFL devient
Δt ≤
Δx
sup
x∈R, t>0
|a(x, t)|
.
On démontre que
1. le schéma d’Euler explicite centré (8.53) est inconditionnellement
instable, c’est-à-dire instable pour tout choix de Δx > 0 et Δt > 0 ;
2. le schéma décentré (aussi appelé schéma d’Euler explicite décentré)
(8.59) est stable pour la norme · · Δ,1 , c’est-à-dire
u
n
Δ,1 ≤ ≤u
0
Δ,1
∀n ≥ 0,
pourvue que la condition de CFL (8.65) soit vérifiée ; le même résultat
peut aussi être établi pour les schémas de Lax-Friedrichs (8.55) et
Lax-Wendroff (8.57) ;
3. le schéma d’Euler implicite centré (8.62) est inconditionnellement
stable pour la norme · · Δ,2 , i.e., pour tout Δt > 0
u
n
Δ,2 ≤ ≤u
0
Δ,2
∀n ≥ 0.
Voir Exercice 8.11.
Pour une preuve de ces résultats, voir p.ex. [QSS07, Chap. 13] et
[Qua09, Chap. 12].
Nous allons à présent explorer deux propriétés importantes d’un
schéma numérique : la dissipation et la dispersion. Pour cela, on suppose que la donnée initiale u
0 (x) du problème (8.47) est 2π−périodique,
de manière à pouvoir la décomposer en séries de Fourier
u
0 (x) =
∞
k=−∞
α k e
ikx ,
où
α k =
1
2π
2π
0
u
0 (x)e
−ikx dx
est le k−ème coefficient de Fourier de u
0 (x). La solution exacte u du
problème (8.47) vérifie formellement les conditions nodales
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Courant, Friedrichs et Lewy [CFL28] ont prouvé qu’une condition nécessaire et suffisante pour qu’un schéma explicite de la forme (8.52) soit
stable est que les pas de discrétisation en espace et en temps vérifient la
condition
|aλ| ≤ 1, i.e. Δt ≤
Δx
|a|
(8.65)
qu’on appelle condition de CFL. Le nombre adimensionnel aλ (a est une
vitesse) est appelé nombre de CFL. Si a n’est pas constant, la condition
de CFL devient
Δt ≤
Δx
sup
x∈R, t>0
|a(x, t)|
.
On démontre que
1. le schéma d’Euler explicite centré (8.53) est inconditionnellement
instable, c’est-à-dire instable pour tout choix de Δx > 0 et Δt > 0 ;
2. le schéma décentré (aussi appelé schéma d’Euler explicite décentré)
(8.59) est stable pour la norme · · Δ,1 , c’est-à-dire
u
n
Δ,1 ≤ ≤u
0
Δ,1
∀n ≥ 0,
pourvue que la condition de CFL (8.65) soit vérifiée ; le même résultat
peut aussi être établi pour les schémas de Lax-Friedrichs (8.55) et
Lax-Wendroff (8.57) ;
3. le schéma d’Euler implicite centré (8.62) est inconditionnellement
stable pour la norme · · Δ,2 , i.e., pour tout Δt > 0
u
n
Δ,2 ≤ ≤u
0
Δ,2
∀n ≥ 0.
Voir Exercice 8.11.
Pour une preuve de ces résultats, voir p.ex. [QSS07, Chap. 13] et
[Qua09, Chap. 12].
Nous allons à présent explorer deux propriétés importantes d’un
schéma numérique : la dissipation et la dispersion. Pour cela, on suppose que la donnée initiale u
0 (x) du problème (8.47) est 2π−périodique,
de manière à pouvoir la décomposer en séries de Fourier
u
0 (x) =
∞
k=−∞
α k e
ikx ,
où
α k =
1
2π
2π
0
u
0 (x)e
−ikx dx
est le k−ème coefficient de Fourier de u
0 (x). La solution exacte u du
problème (8.47) vérifie formellement les conditions nodales