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8 Approximation numérique des problèmes aux limites
Considérons par exemple le schéma d’Euler explicite centré (8.53).
Comme à la Section 7.3.1, en notant u la solution exacte du problème
(8.47), l’erreur de troncature locale en (x j , t
n ) représente, au facteur 1/Δt
près, l’erreur obtenue en insérant la solution exacte dans le schéma numérique. Par exemple, pour le schéma d’Euler explicite centré, elle s’écrit
τ
n
j =
u(x j , t
n+1 ) − u(x j , t
n )
Δt
+a
u(x j+1 , t
n ) − u(x j−1 , t
n )
2Δx
.
L’erreur de troncature (globale) est définie par
τ (Δt, Δx) = max
j,n
|τ
n
j |.
Si τ (Δt, Δx) tend vers zéro quand Δt et Δx tendent indépendamment
vers zéro, le schéma numérique est dit consistant.
Plus généralement, on dit qu’une méthode numérique est d’ordre p
en temps et d’ordre q en espace (où p et q sont positifs) si, pour une
solution assez régulière du problème exact
τ (Δt, Δx) = O(Δt
p + Δx
q ).
Enfin, on dit que le schéma numérique est convergeant (dans la norme
du maximum) si
lim
Δt,Δx→0
max
j,n
|u(x j , t
n ) − u
n
j | = 0.
Si la solution exacte est assez régulière, un développement de Taylor
permet de trouver les erreurs de troncature des méthodes introduites cidessus. Pour les schémas d’Euler centrés (implicite ou explicite), l’erreur
est en O(Δt + Δx
2 ). Pour les autres schémas, voir la Table 8.1.
Considérons à présent la notion de stabilité. On dit qu’un schéma
numérique approchant un problème hyperbolique (linéaire ou non) est
stable si, pour tout temps T , il existe deux constantes C T > 0 (dépendant
éventuellement de T ) et δ 0 > 0, telles que
u
n
Δ ≤ C T u
0
Δ ,
(8.63)
pour tout n tel que nΔt ≤ T et pour tout Δt, Δx tels que 0 < Δt ≤ δ 0 ,
0 < Δx ≤ δ 0 . La notation · · Δ désigne une norme discrète quelconque,
par exemple
v Δ,p =
⎛
⎝ Δx
∞
j=−∞
|v j |
p
⎞
⎠
1
p
pour p = 1 ou 2, v Δ,∞ = sup
j
|v j |.
(8.64)
8 Approximation numérique des problèmes aux limites
Considérons par exemple le schéma d’Euler explicite centré (8.53).
Comme à la Section 7.3.1, en notant u la solution exacte du problème
(8.47), l’erreur de troncature locale en (x j , t
n ) représente, au facteur 1/Δt
près, l’erreur obtenue en insérant la solution exacte dans le schéma numérique. Par exemple, pour le schéma d’Euler explicite centré, elle s’écrit
τ
n
j =
u(x j , t
n+1 ) − u(x j , t
n )
Δt
+a
u(x j+1 , t
n ) − u(x j−1 , t
n )
2Δx
.
L’erreur de troncature (globale) est définie par
τ (Δt, Δx) = max
j,n
|τ
n
j |.
Si τ (Δt, Δx) tend vers zéro quand Δt et Δx tendent indépendamment
vers zéro, le schéma numérique est dit consistant.
Plus généralement, on dit qu’une méthode numérique est d’ordre p
en temps et d’ordre q en espace (où p et q sont positifs) si, pour une
solution assez régulière du problème exact
τ (Δt, Δx) = O(Δt
p + Δx
q ).
Enfin, on dit que le schéma numérique est convergeant (dans la norme
du maximum) si
lim
Δt,Δx→0
max
j,n
|u(x j , t
n ) − u
n
j | = 0.
Si la solution exacte est assez régulière, un développement de Taylor
permet de trouver les erreurs de troncature des méthodes introduites cidessus. Pour les schémas d’Euler centrés (implicite ou explicite), l’erreur
est en O(Δt + Δx
2 ). Pour les autres schémas, voir la Table 8.1.
Considérons à présent la notion de stabilité. On dit qu’un schéma
numérique approchant un problème hyperbolique (linéaire ou non) est
stable si, pour tout temps T , il existe deux constantes C T > 0 (dépendant
éventuellement de T ) et δ 0 > 0, telles que
u
n
Δ ≤ C T u
0
Δ ,
(8.63)
pour tout n tel que nΔt ≤ T et pour tout Δt, Δx tels que 0 < Δt ≤ δ 0 ,
0 < Δx ≤ δ 0 . La notation · · Δ désigne une norme discrète quelconque,
par exemple
v Δ,p =
⎛
⎝ Δx
∞
j=−∞
|v j |
p
⎞
⎠
1
p
pour p = 1 ou 2, v Δ,∞ = sup
j
|v j |.
(8.64)