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8 Approximation numérique des problèmes aux limites
Tout schéma aux différences finies explicite peut s’écrire sous la forme
u
n+1
j
= u
n
j − λ(h
n
j+1/2 − h
n
j−1/2 ),
(8.52)
où h
n
j+1/2 = h(u
n
j , u
n
j+1 ) pour tout j, et où h(·, ·) est une fonction à
choisir appelée flux numérique.
Voici plusieurs exemples de schémas explicites pour approcher le problème (8.47) :
1. Euler explicite/centré
u
n+1
j
= u
n
j −
λ
2
a(u
n
j+1 − u
n
j−1 ),
(8.53)
qui est de la forme (8.52) avec
h
n
j+1/2 =
1
2
a(u
n
j+1 + u
n
j );
(8.54)
2. Lax-Friedrichs
u
n+1
j
=
1
2
(u
n
j+1 + u
n
j−1 ) −
λ
2
a(u
n
j+1 − u
n
j−1 ),
(8.55)
qui est de la forme (8.52) avec
h
n
j+1/2 =
1
2
[a(u
n
j+1 + u
n
j ) − λ
−1 (u
n
j+1 − u
n
j )];
(8.56)
3. Lax-Wendroff
u
n+1
j
= u
n
j −
λ
2
a(u
n
j+1 − u
n
j−1 ) +
λ
2
2
a
2 (u
n
j+1 − 2u
n
j + u
n
j−1 ), (8.57)
qui est de la forme (8.52) avec
h
n
j+1/2 =
1
2
[a(u
n
j+1 + u
n
j ) − λa
2 (u
n
j+1 − u
n
j )];
(8.58)
4. Euler explicite décentré
u
n+1
j
= u
n
j −
λ
2
a(u
n
j+1 − u
n
j−1 ) +
λ
2
|a|(u
n
j+1 − 2u
n
j + u
n
j−1 ), (8.59)
qui est de la forme (8.52) avec
h
n
j+1/2 =
1
2
[a(u
n
j+1 + u
n
j ) − |a|(u
n
j+1 − u
n
j )].
(8.60)