8.3 Equations hyperboliques : un problème d’advection scalaire
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point x = α est un point entrant, et il est nécessaire d’y fixer la valeur
de u pour tout temps t > 0. Dans le cas où a < 0, le point entrant est
x = β, on doit donc y fixer la valeur de u pour tout temps t > 0.
Dans le problème (8.47), il est intéressant de noter que si u
0 est discontinu en un point x 0 , alors cette discontinuité se propage le long de la
caractéristique issue de x 0 . On peut rendre cette remarque rigoureuse en
introduisant le concept de solutions faibles des problèmes hyperboliques,
voir p.ex. [GR96]. Une autre motivation pour introduire les solutions
faibles est donnée par les équations hyperboliques non linéaires. Pour
ces problèmes en effet, les courbes caractéristiques peuvent se croiser :
les solutions ne peuvent donc être continues et aucune solution classique
n’existe.
Exemple 8.5 (Equation de Burgers) Considérons l’équation de Burgers
∂u
∂t
+ u
∂u
∂x
= 0,
x∈ R, t > 0,
(8.51)
qui est peut-être l’exemple non trivial le plus simple d’équation hyperbolique
non linéaire. En prenant comme donnée initiale
u(x, 0) = u
0 (x) =
⎧
⎨
⎩
1,
x≤ 0,
1 − x, 0 < x ≤ 1,
0,
x>1,
la caractéristique issue de (x0, 0) est donnée par
x(t) = x0 + tu
0 (x0) =
⎧
⎨
⎩
x0 + t,
x0 ≤ 0,
x0 + t(1 − x0), 0 < x0 ≤ 1,
x0,
x 0 > 1.
Remarquer qu’il n’y a pas d’intersection de caractéristiques seulement pour
t < 1 (voir Figure 8.11, à droite).
8.3.1 Discrétisation par différences finies de l’équation
d’advection scalaire
Le demi-plan {(x, t) : −∞ < x < ∞, t > 0} est discrétisé en fixant un
pas d’espace Δx > 0 (paramètre qu’on notait h jusqu’à présent), un pas
de temps Δt > 0 et des points de grilles (x j , t
n ) définis par
x j = jΔx,
j ∈ Z,
t
n = nΔt,
n ∈ N.
On pose
λ = Δt/Δx,
et on définit x j+1/2 = x j + Δx/2. On cherche des solutions discrètes u
n
j
qui approchent les valeurs u(x j , t
n ) de la solution exacte pour tout j, n.
On utilise assez souvent des schémas explicites pour discrétiser en temps
des problèmes aux valeurs initiales hyperboliques.
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point x = α est un point entrant, et il est nécessaire d’y fixer la valeur
de u pour tout temps t > 0. Dans le cas où a < 0, le point entrant est
x = β, on doit donc y fixer la valeur de u pour tout temps t > 0.
Dans le problème (8.47), il est intéressant de noter que si u
0 est discontinu en un point x 0 , alors cette discontinuité se propage le long de la
caractéristique issue de x 0 . On peut rendre cette remarque rigoureuse en
introduisant le concept de solutions faibles des problèmes hyperboliques,
voir p.ex. [GR96]. Une autre motivation pour introduire les solutions
faibles est donnée par les équations hyperboliques non linéaires. Pour
ces problèmes en effet, les courbes caractéristiques peuvent se croiser :
les solutions ne peuvent donc être continues et aucune solution classique
n’existe.
Exemple 8.5 (Equation de Burgers) Considérons l’équation de Burgers
∂u
∂t
+ u
∂u
∂x
= 0,
x∈ R, t > 0,
(8.51)
qui est peut-être l’exemple non trivial le plus simple d’équation hyperbolique
non linéaire. En prenant comme donnée initiale
u(x, 0) = u
0 (x) =
⎧
⎨
⎩
1,
x≤ 0,
1 − x, 0 < x ≤ 1,
0,
x>1,
la caractéristique issue de (x0, 0) est donnée par
x(t) = x0 + tu
0 (x0) =
⎧
⎨
⎩
x0 + t,
x0 ≤ 0,
x0 + t(1 − x0), 0 < x0 ≤ 1,
x0,
x 0 > 1.
Remarquer qu’il n’y a pas d’intersection de caractéristiques seulement pour
t < 1 (voir Figure 8.11, à droite).
8.3.1 Discrétisation par différences finies de l’équation
d’advection scalaire
Le demi-plan {(x, t) : −∞ < x < ∞, t > 0} est discrétisé en fixant un
pas d’espace Δx > 0 (paramètre qu’on notait h jusqu’à présent), un pas
de temps Δt > 0 et des points de grilles (x j , t
n ) définis par
x j = jΔx,
j ∈ Z,
t
n = nΔt,
n ∈ N.
On pose
λ = Δt/Δx,
et on définit x j+1/2 = x j + Δx/2. On cherche des solutions discrètes u
n
j
qui approchent les valeurs u(x j , t
n ) de la solution exacte pour tout j, n.
On utilise assez souvent des schémas explicites pour discrétiser en temps
des problèmes aux valeurs initiales hyperboliques.