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8 Approximation numérique des problèmes aux limites
t
x
α
β
P0
P
Q
t
x
t = 1
1
0
Figure 8.11. A gauche : exemple d’un cas où les courbes caractéristiques
issues des points P et Q sont des lignes droites. A droite : courbes caractéristiques de l’équation de Burgers (8.51)
sont appelées courbes caractéristiques (ou simplement caractéristiques).
Ce sont les droites x(t) = x 0 + at, t > 0. La solution de (8.47) est
constante le long de ces courbes puisque
du
dt
=
∂u
∂t
+
∂u
∂x
dx
dt
= 0
sur (x(t), t).
Pour le problème plus général
⎧
⎨
⎩
∂u
∂t
+ a
∂u
∂x
+ a 0 u = f, x ∈ R, t > 0,
u(x, 0) = u
0 (x),
x∈ R,
(8.49)
où a, a 0 et f sont des fonctions données des variables (x, t), les caractéristiques sont encore définies par (8.48). Les solutions de (8.49) satisfont
alors l’équation différentielle suivante le long des caractéristiques
du
dt
= f − a 0 u
sur (x(t), t).
Considérons à présent le problème (8.47) sur un intervalle borné ]α, β[
⎧
⎨
⎩
∂u
∂t
+ a
∂u
∂x
= 0, x ∈]α, β[, t > 0,
u(x, 0) = u
0 (x), x ∈]α, β[.
(8.50)
Supposons pour commencer a > 0. Comme u est constant le long des
caractéristiques, on voit à gauche de la Figure 8.11 que la valeur de la
solution en P est donnée par la valeur de u
0 en P 0 , appelé pied de la
caractéristique issue de P . D’autre part, la caractéristique issue de Q
rencontre la droite x(t) = α au temps t = ¯
t > 0. Par conséquent, le