8.3 Equations hyperboliques : un problème d’advection scalaire
287
Quand θ = 0, on remarque que si la matrice M était diagonale, les
équations du système (8.45) seraient découplées. On peut y parvenir
par un procédé appelé condensation de la masse (ou mass-lumping en
anglais) qui consiste à approcher la matrice M par une matrice diagonale
inversible
M. Dans le cas d’éléments finis linéaires par morceaux,
M
s’obtient en utilisant la formule composite du trapèze aux noeuds {x i }
pour évaluer les intégrales
b
a
ϕ j ϕ i dx, ce qui donne ˜
m ij = hδ ij , i, j =
1, . . . , N.
Si θ ≥ 1/2, le θ-schéma est inconditionnellement stable pour tout
Δt strictement positif, tandis que si 0 ≤ θ < 1/2 le θ-schéma est stable
seulement si
0 < Δt ≤
2
(1 − 2θ)λ max (M −1 A fe )
,
voir [Qua09, Chap. 5]. De plus, on peut montrer qu’il existe deux
constantes strictement positives c 1 et c 2 , indépendantes de h, telles que
c 1 h
−2
≤ λ max (M
−1 A fe ) ≤ c 2 h
−2
(voir la preuve dans [QV94, Section 6.3.2]). Grâce à cette propriété, si
0 ≤ θ < 1/2 la méthode est stable seulement si
0 < Δt ≤ C 1 (θ)h
2 ,
(8.46)
où C 1 (θ) est une constante indépendante des paramètres de discrétisation
h et Δt.
8.3 Equations hyperboliques : un problème
d’advection scalaire
Considérons le problème scalaire hyperbolique suivant
⎧
⎨
⎩
∂u
∂t
+ a
∂u
∂x
= 0, x ∈ R, t > 0,
u(x, 0) = u
0 (x), x ∈ R,
(8.47)
où a est un nombre positif. Sa solution est donnée par
u(x, t) = u
0 (x − at), t ≥ 0,
et représente une onde se propageant à la vitesse a. Les courbes (x(t), t)
du plan (x, t) vérifiant l’équation différentielle scalaire
⎧
⎨
⎩
dx
dt
(t) = a, t > 0,
x(0) = x 0 ,
(8.48)
287
Quand θ = 0, on remarque que si la matrice M était diagonale, les
équations du système (8.45) seraient découplées. On peut y parvenir
par un procédé appelé condensation de la masse (ou mass-lumping en
anglais) qui consiste à approcher la matrice M par une matrice diagonale
inversible
M. Dans le cas d’éléments finis linéaires par morceaux,
M
s’obtient en utilisant la formule composite du trapèze aux noeuds {x i }
pour évaluer les intégrales
b
a
ϕ j ϕ i dx, ce qui donne ˜
m ij = hδ ij , i, j =
1, . . . , N.
Si θ ≥ 1/2, le θ-schéma est inconditionnellement stable pour tout
Δt strictement positif, tandis que si 0 ≤ θ < 1/2 le θ-schéma est stable
seulement si
0 < Δt ≤
2
(1 − 2θ)λ max (M −1 A fe )
,
voir [Qua09, Chap. 5]. De plus, on peut montrer qu’il existe deux
constantes strictement positives c 1 et c 2 , indépendantes de h, telles que
c 1 h
−2
≤ λ max (M
−1 A fe ) ≤ c 2 h
−2
(voir la preuve dans [QV94, Section 6.3.2]). Grâce à cette propriété, si
0 ≤ θ < 1/2 la méthode est stable seulement si
0 < Δt ≤ C 1 (θ)h
2 ,
(8.46)
où C 1 (θ) est une constante indépendante des paramètres de discrétisation
h et Δt.
8.3 Equations hyperboliques : un problème
d’advection scalaire
Considérons le problème scalaire hyperbolique suivant
⎧
⎨
⎩
∂u
∂t
+ a
∂u
∂x
= 0, x ∈ R, t > 0,
u(x, 0) = u
0 (x), x ∈ R,
(8.47)
où a est un nombre positif. Sa solution est donnée par
u(x, t) = u
0 (x − at), t ≥ 0,
et représente une onde se propageant à la vitesse a. Les courbes (x(t), t)
du plan (x, t) vérifiant l’équation différentielle scalaire
⎧
⎨
⎩
dx
dt
(t) = a, t > 0,
x(0) = x 0 ,
(8.48)