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8 Approximation numérique des problèmes aux limites
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
250
300
350
400
450
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t = 0 s
t = 2000 s
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Figure 8.10. Profils de température dans une barre d’aluminium pour différents pas de temps (de t = 0 à t = 2000 avec un pas de 0.25 (en haut ) et 20
secondes (en bas)), obtenus avec la méthode d’Euler implicite (à gauche) et
de Crank-Nicolson (à droite). Dans les deux cas, le problème est discrétisé en
espace par différences finies centrées avec h = 0.01. Le zoom sur les solutions
pour Δt = 20sec (en bas) montre l’instabilité du schéma de Crank-Nicolson
capacité thermique spécifique c = 897 J/(kg K). Son coefficient de diffusion
thermique vaut donc μ = 9.786 · 10
−5 m
2 /s. La condition initiale est définie
par T (x, 0) = 500 K si x ∈]1, 2[, 250 K autrement. Les conditions aux limites
de Dirichlet sont T (0, t) = T (3, t) = 250 K. On a représenté sur la Figure 8.10
l’évolution de la température calculée avec la méthode d’Euler implicite (θ = 1,
à gauche) et avec la méthode de Crank-Nicolson (θ = 0.5, à droite), en utilisant
le Programme 8.3.
On voit que pour un grand pas de temps (Δt = 20sec), la méthode de
Crank-Nicolson produit des oscillations. Celles-ci sont dues à la faible régularité de la donnée initiale (voir à ce sujet [QV94, Chapitre 11]). En revanche,
la méthode d’Euler implicite donne une solution stable, car elle est plus dissipative que la méthode de Crank-Nicolson. Les deux schémas donnent une
solution qui tend vers la valeur correcte, 250 K, quand t augmente.
8 Approximation numérique des problèmes aux limites
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t = 0 s
t = 2000 s
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Figure 8.10. Profils de température dans une barre d’aluminium pour différents pas de temps (de t = 0 à t = 2000 avec un pas de 0.25 (en haut ) et 20
secondes (en bas)), obtenus avec la méthode d’Euler implicite (à gauche) et
de Crank-Nicolson (à droite). Dans les deux cas, le problème est discrétisé en
espace par différences finies centrées avec h = 0.01. Le zoom sur les solutions
pour Δt = 20sec (en bas) montre l’instabilité du schéma de Crank-Nicolson
capacité thermique spécifique c = 897 J/(kg K). Son coefficient de diffusion
thermique vaut donc μ = 9.786 · 10
−5 m
2 /s. La condition initiale est définie
par T (x, 0) = 500 K si x ∈]1, 2[, 250 K autrement. Les conditions aux limites
de Dirichlet sont T (0, t) = T (3, t) = 250 K. On a représenté sur la Figure 8.10
l’évolution de la température calculée avec la méthode d’Euler implicite (θ = 1,
à gauche) et avec la méthode de Crank-Nicolson (θ = 0.5, à droite), en utilisant
le Programme 8.3.
On voit que pour un grand pas de temps (Δt = 20sec), la méthode de
Crank-Nicolson produit des oscillations. Celles-ci sont dues à la faible régularité de la donnée initiale (voir à ce sujet [QV94, Chapitre 11]). En revanche,
la méthode d’Euler implicite donne une solution stable, car elle est plus dissipative que la méthode de Crank-Nicolson. Les deux schémas donnent une
solution qui tend vers la valeur correcte, 250 K, quand t augmente.