8.2 Approximation de problèmes aux limites
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8.2.7 Approximation par éléments finis de l’équation de la
chaleur monodimensionnelle
Pour discrétiser en espace l’équation de la chaleur (8.4) avec conditions
aux limites de Dirichlet homogènes u(a, t) = u(b, t) = 0, ∀t > 0, on
peut utiliser la méthode des éléments finis de Galerkin en procédant
comme à la Section 8.2.3 pour le problème de Poisson. Pour commencer,
on multiplie l’équation (8.4) pour tout t > 0 par une fonction test v =
v(x) ∈ C
1 ([a, b]) et on intègre l’équation obtenue sur ]a, b[. Pour tout
t > 0, on cherche donc une fonction t → u(x, t) ∈ C
1 ([a, b]) telle que
b
a
∂u
∂t
(x, t)v(x)dx +
b
a
μ
∂u
∂x
(x, t)
dv
dx
(x)dx =
(8.41)
=
b
a
f(x)v(x)dx
∀v ∈ C
1 ([a, b]),
avec u(0) = u
0 . On omettra désormais la variable x dans u, v et f afin
d’alléger l’écriture.
Soit V h le sous-espace de dimension finie de C
1 ([a, b]) déjà introduit
en (8.26). Considérons la formulation de Galerkin suivante : ∀t > 0,
trouver u h (t) ∈ V h tel que
b
a
∂u h
∂t
(t)v h dx +
b
a
μ
∂u h
∂x
(t)
dv h
dx
dx =
b
a
f(t)v h dx ∀v h ∈ V h ,(8.42)
où u h (0) = u
0
h , u
0
h ∈ V h étant une approximation de u
0 . La formulation (8.42) est appelée semi-discrétisation du problème (8.41), puisque
la discrétisation n’a été effectuée qu’en espace, et non en temps.
Pour discrétiser (8.42) par éléments finis, on considère les fonctions
de base ϕ j introduites à la Section 8.2.3. On cherche donc la solution u h
de (8.42) sous la forme
u h (t) =
N
j=1
u j (t)ϕ j ,
où les {u j (t)} sont les coefficients inconnus et N est la dimension de V h .
D’après (8.42), on obtient
b
a
N
j=1
du j
dt
(t)ϕ j ϕ i dx + μ
b
a
N
j=1
u j (t)
dϕ j
dx
dϕ i
dx
dx =
=
b
a
f(t)ϕ i dx,
i = 1, . . . , N
c’est-à-dire