8.2 Approximation de problèmes aux limites
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Figure 8.9. Erreur en fonction de Δt du θ-schéma (θ = 1, trait plein, et
θ = 0.5 trait discontinu), pour trois valeurs de h : 0.008 (), 0.004 (◦) et 0.002
(pas de symbole)
[L , U ]= lu( A );
for t = tspan (1)+ dt: dt : tspan (2)
fn1 = feval (f , xh ,t , varargin {:});
rhs = An* un+ dt *( theta * fn1 +(1 - theta )* fn );
temp = feval (g ,[ xspan (1) , xspan (2)] ,t , varargin {:});
rhs ([1 ,N ]) = temp ;
uh = L\ rhs; uh = U \ uh; fn = fn1 ; un = uh;
end
return
Exemple 8.3 On considère l’équation de la chaleur (8.4) sur ]a, b[=]0, 1[ avec
μ = 1, f (x, t) = − sin(x) sin(t) + sin(x) cos(t), la condition initiale u(x, 0) =
sin(x) et les conditions aux limites u(0, t) = 0 et u(1, t) = sin(1) cos(t). Dans ce
cas, la solution exacte est u(x, t) = sin(x) cos(t). Sur la Figure 8.9, on compare
les erreurs maxi=0,...,N |u(xi, 1) − u
M
i | en faisant varier le pas de temps sur
une grille uniforme en espace avec h = 0.002. Les {u
M
i } sont les valeurs de la
solution obtenue par différences finies et calculée au temps t
M = 1. Comme
prévu, pour θ = 0.5 le θ-schéma est d’ordre 2, au moins pour des pas de temps
“assez grands” (pour des pas de temps trop petits, l’erreur en espace domine
l’erreur en temps).
Exemple 8.4 (Thermodynamique) On considère une barre d’aluminium
homogène de trois mètres de long et de section uniforme. On souhaite simuler l’évolution de la température à partir d’une donnée initiale en résolvant
l’équation de la chaleur (8.5). Si on impose des conditions adiabatiques sur
la surface latérale de la barre (i.e. des conditions de Neumann homogènes),
et des conditions de Dirichlet aux extrémités, la température ne dépend que
de la coordonnée axiale, notée x. Le problème peut donc être modélisé par
l’équation de la chaleur monodimensionnelle (8.7) avec f = 0, complétée par
la condition initiale en t = t0 et par les conditions de Dirichlet aux extrémités du domaine de calcul réduit Ω =]0, L[ (L = 3m). L’aluminium pur a une
conductivité thermique k = 237 W/(m K), une densité ρ = 2700kg/m
3 et une
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θ = 0.5 trait discontinu), pour trois valeurs de h : 0.008 (), 0.004 (◦) et 0.002
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[L , U ]= lu( A );
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fn1 = feval (f , xh ,t , varargin {:});
rhs = An* un+ dt *( theta * fn1 +(1 - theta )* fn );
temp = feval (g ,[ xspan (1) , xspan (2)] ,t , varargin {:});
rhs ([1 ,N ]) = temp ;
uh = L\ rhs; uh = U \ uh; fn = fn1 ; un = uh;
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Exemple 8.3 On considère l’équation de la chaleur (8.4) sur ]a, b[=]0, 1[ avec
μ = 1, f (x, t) = − sin(x) sin(t) + sin(x) cos(t), la condition initiale u(x, 0) =
sin(x) et les conditions aux limites u(0, t) = 0 et u(1, t) = sin(1) cos(t). Dans ce
cas, la solution exacte est u(x, t) = sin(x) cos(t). Sur la Figure 8.9, on compare
les erreurs maxi=0,...,N |u(xi, 1) − u
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i | en faisant varier le pas de temps sur
une grille uniforme en espace avec h = 0.002. Les {u
M
i } sont les valeurs de la
solution obtenue par différences finies et calculée au temps t
M = 1. Comme
prévu, pour θ = 0.5 le θ-schéma est d’ordre 2, au moins pour des pas de temps
“assez grands” (pour des pas de temps trop petits, l’erreur en espace domine
l’erreur en temps).
Exemple 8.4 (Thermodynamique) On considère une barre d’aluminium
homogène de trois mètres de long et de section uniforme. On souhaite simuler l’évolution de la température à partir d’une donnée initiale en résolvant
l’équation de la chaleur (8.5). Si on impose des conditions adiabatiques sur
la surface latérale de la barre (i.e. des conditions de Neumann homogènes),
et des conditions de Dirichlet aux extrémités, la température ne dépend que
de la coordonnée axiale, notée x. Le problème peut donc être modélisé par
l’équation de la chaleur monodimensionnelle (8.7) avec f = 0, complétée par
la condition initiale en t = t0 et par les conditions de Dirichlet aux extrémités du domaine de calcul réduit Ω =]0, L[ (L = 3m). L’aluminium pur a une
conductivité thermique k = 237 W/(m K), une densité ρ = 2700kg/m
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