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8 Approximation numérique des problèmes aux limites
8.2.6 Approximation par différences finies de l’équation de la
chaleur monodimensionnelle
On considère l’équation de la chaleur monodimensionnelle (8.4) avec des
conditions aux limites de Dirichlet homogènes u(a, t) = u(b, t) = 0 pour
tout t > 0 et une condition initiale u(x, 0) = u
0 (x) pour x ∈ [a, b].
Pour résoudre cette équation numériquement, on doit discrétiser les
variables x et t. Commençons par la variable x et suivons la même
démarche qu’à la Section 8.2.1. On note u j (t) une approximation de
u(x j , t), j = 0, . . . , N + 1, et on approche le problème de Dirichlet (8.4)
à l’aide du schéma suivant : pour tout t > 0
⎧
⎨
⎩
du j
dt
(t) −
μ
h 2 (u j−1 (t) − 2u j (t) + u j+1 (t)) = f j (t), j = 1, . . ., N,
u 0 (t) = u N+1 (t) = 0,
où f j (t) = f(x j , t) et, pour t = 0,
u j (0) = u
0 (x j ),
j = 0, . . . , N + 1.
Ceci constitue une semi-discrétisation de l’équation de la chaleur, et peut
s’écrire sous la forme du système d’équations différentielles ordinaires
suivant
⎧
⎨
⎩
du
dt
(t) = −
μ
h 2 Au(t) + f (t), ∀t > 0,
u(0) = u
0 ,
(8.37)
où u(t) = (u 1 (t), . . . , u N (t))
T est le vecteur inconnu, f (t) = (f 1 (t), . . . ,
f N (t))
T , u
0 = (u
0 (x 1 ), . . . , u
0 (x N ))
T et A est la matrice tridiagonale
(8.15). Remarquer que pour obtenir (8.37), on a supposé u
0 (x 0 ) =
u
0 (x N+1 ) = 0, ce qui est cohérent avec les conditions aux limites de
Dirichlet homogènes.
Une manière classique d’intégrer en temps (8.37) est d’utiliser le
θ−schéma. Soit Δt > 0 un pas de temps constant, et soit v
k la valeur
d’une variable v au temps t
k = kΔt. Le θ-schéma s’écrit
u
k+1
− u
k
Δt
= −
μ
h 2 A(θu
k+1 + (1 − θ)u
k ) + θf
k+1 + (1 − θ)f
k ,
k = 0, 1, . . .
u
0 donné
(8.38)
ou, de manière équivalente,
I +
μ
h 2 θΔtA
u
k+1 =
I −
μ
h 2 Δt(1 − θ)A
u
k + g
k+1 , (8.39)
où g
k+1 = Δt(θf
k+1 + (1 − θ)f
k ) et I est la matrice identité d’ordre N .
8 Approximation numérique des problèmes aux limites
8.2.6 Approximation par différences finies de l’équation de la
chaleur monodimensionnelle
On considère l’équation de la chaleur monodimensionnelle (8.4) avec des
conditions aux limites de Dirichlet homogènes u(a, t) = u(b, t) = 0 pour
tout t > 0 et une condition initiale u(x, 0) = u
0 (x) pour x ∈ [a, b].
Pour résoudre cette équation numériquement, on doit discrétiser les
variables x et t. Commençons par la variable x et suivons la même
démarche qu’à la Section 8.2.1. On note u j (t) une approximation de
u(x j , t), j = 0, . . . , N + 1, et on approche le problème de Dirichlet (8.4)
à l’aide du schéma suivant : pour tout t > 0
⎧
⎨
⎩
du j
dt
(t) −
μ
h 2 (u j−1 (t) − 2u j (t) + u j+1 (t)) = f j (t), j = 1, . . ., N,
u 0 (t) = u N+1 (t) = 0,
où f j (t) = f(x j , t) et, pour t = 0,
u j (0) = u
0 (x j ),
j = 0, . . . , N + 1.
Ceci constitue une semi-discrétisation de l’équation de la chaleur, et peut
s’écrire sous la forme du système d’équations différentielles ordinaires
suivant
⎧
⎨
⎩
du
dt
(t) = −
μ
h 2 Au(t) + f (t), ∀t > 0,
u(0) = u
0 ,
(8.37)
où u(t) = (u 1 (t), . . . , u N (t))
T est le vecteur inconnu, f (t) = (f 1 (t), . . . ,
f N (t))
T , u
0 = (u
0 (x 1 ), . . . , u
0 (x N ))
T et A est la matrice tridiagonale
(8.15). Remarquer que pour obtenir (8.37), on a supposé u
0 (x 0 ) =
u
0 (x N+1 ) = 0, ce qui est cohérent avec les conditions aux limites de
Dirichlet homogènes.
Une manière classique d’intégrer en temps (8.37) est d’utiliser le
θ−schéma. Soit Δt > 0 un pas de temps constant, et soit v
k la valeur
d’une variable v au temps t
k = kΔt. Le θ-schéma s’écrit
u
k+1
− u
k
Δt
= −
μ
h 2 A(θu
k+1 + (1 − θ)u
k ) + θf
k+1 + (1 − θ)f
k ,
k = 0, 1, . . .
u
0 donné
(8.38)
ou, de manière équivalente,
I +
μ
h 2 θΔtA
u
k+1 =
I −
μ
h 2 Δt(1 − θ)A
u
k + g
k+1 , (8.39)
où g
k+1 = Δt(θf
k+1 + (1 − θ)f
k ) et I est la matrice identité d’ordre N .