8.2 Approximation de problèmes aux limites
279
τ h (x i , y j ) =
∂
2 u
∂x 2 (x i , y j ) −
u(x i−1 , y j ) − 2u(x i , y j ) + u(x i+1 , y j )
h 2
+
∂
2 u
∂y 2 (x i , y j ) −
u(x i , y j−1 ) − 2u(x i , y j ) + u(x i , y j+1 )
h 2
.
D’après l’analyse effectuée à la Section 8.2.4, on en conclut que les deux
termes tendent vers zéro quand h tend vers 0. Ainsi,
lim
h→0
τ h (x i , y j ) = 0, (x i , y j ) ∈ Δ h \ ∂Δ h ,
autrement dit, la méthode à cinq points est consistante. La proposition
suivante montre qu’elle est aussi convergente (pour la preuve voir p.ex.
[IK66])
Proposition 8.1 On suppose que la solution exacte u ∈ C
4 ( ¯
Ω), i.e.
u admet des dérivées continues jusqu’à l’ordre 4 dans le fermé ¯
Ω.
Alors, il existe une constante C > 0 telle que
max
i,j
|u(x i , y j ) − u i,j | ≤ CM h
2
(8.36)
où M est le maximum sur ¯
Ω de la valeur absolue de la dérivée
quatrième de u.
Exemple 8.2 Vérifions expérimentalement que le schéma à cinq points appliqué au problème de Poisson de l’Exemple 8.1 a une convergence d’ordre 2
en h. On part de h = 1/4 puis on divise sa valeur par deux jusqu’à h = 1/64.
On utilise les instructions suivantes :
a =0;b =1;c =0;d =1;
f = inline ( ’ 8* pi ^2* sin (2* pi* x ).* cos (2* pi* y) ’ , ’x ’, ’y ’);
g = inline ( ’ sin (2* pi *x ).* cos (2* pi* y ) ’, ’x ’, ’y ’ );
uex =g ; nx =4; ny =4;
for n =1:5
[u ,x ,y , error ( n )]= p o i sso nfd(a ,c ,b ,d , nx ,ny ,f ,g , uex );
nx = 2* nx ; ny = 2* ny ;
end
Le vecteur contenant l’erreur est :
format short e; error
1.3565e-01 4.3393e-02 1.2308e-02 3.2775e-03 8.4557e-04
On peut vérifier avec les commandes suivantes (voir formule (1.12)) :
log(abs(error(1:end-1)./error(2:end)))/log(2)
1.6443e+00
1.8179e+00
1.9089e+00
1.9546e+00
que l’erreur décroît comme h
2 quand h → 0.