278
8 Approximation numérique des problèmes aux limites
élément est un polynôme de degré 1 qui vaut 1 sur le sommet (ou noeud)
k et 0 sur les autres noeuds de la triangulation. Pour l’implémentation,
on peut utiliser la toolbox pde de MATLAB.
pde
8.2.5 Consistance et convergence de la discrétisation par
différences finies du problème de Poisson
On a vu dans la section précédente que la solution du problème résultant
de la discrétisation par différences finies existe et est unique. On propose
d’étudier à présent l’erreur d’approximation. On supposera pour simplifier que h x = h y = h. Si
max
i,j
|u(x i , y j ) − u i,j | → 0 quand h → 0
(8.35)
la méthode utilisée pour calculer u i,j est dite convergente.
Comme on l’a déjà souligné, la consistance est une condition nécessaire pour la convergence. Une méthode est consistante si le résidu
obtenu en injectant la solution exacte dans le schéma numérique tend
vers zéro quand h tend vers zéro. Si on considère le schéma aux différences finies à cinq points, on définit en chaque point intérieur (x i , y j )
de Δ h la quantité
τ h (x i , y j ) = −f(x i , y j )
−
1
h 2 [u(x i−1 , y j ) + u(x i , y j−1 ) − 4u(x i , y j ) + u(x i , y j+1 ) + u(x i+1 , y j )] ,
appelée erreur de troncature locale au noeud (x i , y j ). D’après (8.2), on a
Figure 8.8. Déplacement transverse d’une membrane élastique calculé sur
deux grilles uniformes, grossière à gauche et plus fine à droite. On trace les
isovaleurs de la solution numérique sur le plan horizontal. La triangulation de
Ω ne sert qu’à la visualisation des résultats
8 Approximation numérique des problèmes aux limites
élément est un polynôme de degré 1 qui vaut 1 sur le sommet (ou noeud)
k et 0 sur les autres noeuds de la triangulation. Pour l’implémentation,
on peut utiliser la toolbox pde de MATLAB.
pde
8.2.5 Consistance et convergence de la discrétisation par
différences finies du problème de Poisson
On a vu dans la section précédente que la solution du problème résultant
de la discrétisation par différences finies existe et est unique. On propose
d’étudier à présent l’erreur d’approximation. On supposera pour simplifier que h x = h y = h. Si
max
i,j
|u(x i , y j ) − u i,j | → 0 quand h → 0
(8.35)
la méthode utilisée pour calculer u i,j est dite convergente.
Comme on l’a déjà souligné, la consistance est une condition nécessaire pour la convergence. Une méthode est consistante si le résidu
obtenu en injectant la solution exacte dans le schéma numérique tend
vers zéro quand h tend vers zéro. Si on considère le schéma aux différences finies à cinq points, on définit en chaque point intérieur (x i , y j )
de Δ h la quantité
τ h (x i , y j ) = −f(x i , y j )
−
1
h 2 [u(x i−1 , y j ) + u(x i , y j−1 ) − 4u(x i , y j ) + u(x i , y j+1 ) + u(x i+1 , y j )] ,
appelée erreur de troncature locale au noeud (x i , y j ). D’après (8.2), on a
Figure 8.8. Déplacement transverse d’une membrane élastique calculé sur
deux grilles uniformes, grossière à gauche et plus fine à droite. On trace les
isovaleurs de la solution numérique sur le plan horizontal. La triangulation de
Ω ne sert qu’à la visualisation des résultats