8.2 Approximation de problèmes aux limites
281
Pour des valeurs bien choisies du paramètre θ, on peut retrouver à
partir de (8.39) des méthodes déjà vues au Chapitre 7. Par exemple,
si θ = 0 la méthode (8.39) correspond au schéma d’Euler progressif qui
donne u
k+1 de manière explicite ; autrement, un système linéaire (associé
à la matrice constante I + μθΔtA/h
2 ) doit être résolu à chaque pas de
temps.
Considérons à présent la stabilité. Quand f = 0, la solution exacte
u(x, t) tend vers zéro pour tout x quand t → ∞. On s’attend donc à
retrouver ce comportement dans la solution discrète. Quand c’est le cas,
on dit que le schéma (8.39) est asymptotiquement stable. Cette dénomination est cohérente avec le concept de stabilité absolue introduit à la
Section 7.6 pour les équations différentielles ordinaires.
Pour étudier la stabilité asymptotique, considérons l’équation (8.39)
avec g
(k+1) = 0 ∀k ≥ 0.
Si θ = 0, on a
u
k = (I − μΔtA/h
2 )
k
u
0 ,
k= 1, 2, . . .
donc u
k
→ 0 quand k → ∞ si
ρ(I − μΔtA/h
2 ) < 1.
(8.40)
De plus, les valeurs propres λ j de A sont données par (voir Exercice 8.2)
λ j = 2 − 2 cos(jπ/(N + 1)) = 4 sin
2 (jπ/(2(N + 1))), j = 1, . . . , N.
Donc (8.40) est vérifié si
Δt <
1
2μ
h
2 .
Comme on pouvait s’y attendre, la méthode d’Euler explicite est conditionnellement asymptotiquement stable, la condition étant que le pas de
temps Δt décroît comme le carré du pas d’espace h.
Dans le cas de la méthode d’Euler implicite (θ = 1), on a d’après
(8.39)
u
k =
(I + μΔtA/h
2 )
−1
k u
0 ,
k= 1, 2, . . .
Comme toutes les valeurs propres de la matrice (I + μΔtA/h
2 )
−1 sont
réelles positives et strictement inférieures à 1 pour tout Δt, ce schéma est
inconditionnellement asymptotiquement stable. Plus généralement, le θschéma est inconditionnellement asymptotiquement stable pour toutes
les valeurs 1/2 ≤ θ ≤ 1, et conditionnellement asymptotiquement stable
si 0 ≤ θ < 1/2 (voir p.ex. [QSS07, Chapitre 13]).
En ce qui concerne la précision, l’erreur de troncature du θ-schéma est
de l’ordre de Δt+h
2 si θ =
1
2 , et de l’ordre de Δt
2 +h
2 si θ =
1
2 . Ce dernier
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Pour des valeurs bien choisies du paramètre θ, on peut retrouver à
partir de (8.39) des méthodes déjà vues au Chapitre 7. Par exemple,
si θ = 0 la méthode (8.39) correspond au schéma d’Euler progressif qui
donne u
k+1 de manière explicite ; autrement, un système linéaire (associé
à la matrice constante I + μθΔtA/h
2 ) doit être résolu à chaque pas de
temps.
Considérons à présent la stabilité. Quand f = 0, la solution exacte
u(x, t) tend vers zéro pour tout x quand t → ∞. On s’attend donc à
retrouver ce comportement dans la solution discrète. Quand c’est le cas,
on dit que le schéma (8.39) est asymptotiquement stable. Cette dénomination est cohérente avec le concept de stabilité absolue introduit à la
Section 7.6 pour les équations différentielles ordinaires.
Pour étudier la stabilité asymptotique, considérons l’équation (8.39)
avec g
(k+1) = 0 ∀k ≥ 0.
Si θ = 0, on a
u
k = (I − μΔtA/h
2 )
k
u
0 ,
k= 1, 2, . . .
donc u
k
→ 0 quand k → ∞ si
ρ(I − μΔtA/h
2 ) < 1.
(8.40)
De plus, les valeurs propres λ j de A sont données par (voir Exercice 8.2)
λ j = 2 − 2 cos(jπ/(N + 1)) = 4 sin
2 (jπ/(2(N + 1))), j = 1, . . . , N.
Donc (8.40) est vérifié si
Δt <
1
2μ
h
2 .
Comme on pouvait s’y attendre, la méthode d’Euler explicite est conditionnellement asymptotiquement stable, la condition étant que le pas de
temps Δt décroît comme le carré du pas d’espace h.
Dans le cas de la méthode d’Euler implicite (θ = 1), on a d’après
(8.39)
u
k =
(I + μΔtA/h
2 )
−1
k u
0 ,
k= 1, 2, . . .
Comme toutes les valeurs propres de la matrice (I + μΔtA/h
2 )
−1 sont
réelles positives et strictement inférieures à 1 pour tout Δt, ce schéma est
inconditionnellement asymptotiquement stable. Plus généralement, le θschéma est inconditionnellement asymptotiquement stable pour toutes
les valeurs 1/2 ≤ θ ≤ 1, et conditionnellement asymptotiquement stable
si 0 ≤ θ < 1/2 (voir p.ex. [QSS07, Chapitre 13]).
En ce qui concerne la précision, l’erreur de troncature du θ-schéma est
de l’ordre de Δt+h
2 si θ =
1
2 , et de l’ordre de Δt
2 +h
2 si θ =
1
2 . Ce dernier