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8 Approximation numérique des problèmes aux limites
(i, j)
(i+1, j)
(i−1, j)
(i, j −1)
(i, j +1)
Figure 8.6. Stencil du schéma à cinq points pour l’opérateur de Laplace
où ∂Δ h désigne l’ensemble des noeuds situés sur la frontière ∂Ω de Ω.
Ces noeuds sont représentés par des petits carrés sur la Figure 8.5. En
faisant de plus l’hypothèse que la grille de calcul est uniforme selon les
deux axes, c’est-à-dire h x = h y = h, (8.30) s’écrit
−
1
h 2 (u i−1,j + u i,j−1 − 4u i,j + u i,j+1 + u i+1,j ) = f i,j ,
i = 1, . . . , N x , j = 1, . . ., N y
(8.32)
Le système d’équations (8.32) (ou (8.30)) et (8.31) permet de calculer les
valeurs nodales u i,j en tous les noeuds de Δ h . Pour chaque couple d’indices i et j, l’équation (8.32) comporte cinq inconnues nodales, comme
on peut le voir sur la Figure 8.6. Pour cette raison, cette méthode de
différences finies est appelée schéma à cinq points pour l’opérateur de
Laplace. Les inconnues associées aux noeuds du bord peuvent être éliminées en utilisant (8.31) et donc (8.30) (ou (8.32)) ne comporte que
N = N x N y inconnues.
Le système obtenu peut être écrit sous une forme plus agréable en
rangeant les noeuds selon l’ordre lexicographique, c’est-à-dire en numérotant les noeuds (et donc les inconnues) de gauche à droite et de bas
en haut. On obtient un système de la forme (8.14), avec une matrice
A ∈ R
N×N tridiagonale par blocs
A = tridiag(D, T, D).
(8.33)
Elle comporte N y lignes et N y colonnes, et chaque terme (noté avec une
lettre capitale) est une matrice N x × N x . La matrice D ∈ R
Nx×Nx est
diagonale et ses coefficients sont −1/h
2
y , la matrice T ∈ R
Nx×Nx est
tridiagonale et symétrique
T = tridiag(−
1
h 2
x
,
2
h 2
x
+
2
h 2
y
, −
1
h 2
x
).
La matrice A est symétrique puisque tous ses blocs diagonaux le sont.
Elle est aussi définie positive, c’est-à-dire v
T Av > 0 ∀v ∈ R
N , v = 0.
8 Approximation numérique des problèmes aux limites
(i, j)
(i+1, j)
(i−1, j)
(i, j −1)
(i, j +1)
Figure 8.6. Stencil du schéma à cinq points pour l’opérateur de Laplace
où ∂Δ h désigne l’ensemble des noeuds situés sur la frontière ∂Ω de Ω.
Ces noeuds sont représentés par des petits carrés sur la Figure 8.5. En
faisant de plus l’hypothèse que la grille de calcul est uniforme selon les
deux axes, c’est-à-dire h x = h y = h, (8.30) s’écrit
−
1
h 2 (u i−1,j + u i,j−1 − 4u i,j + u i,j+1 + u i+1,j ) = f i,j ,
i = 1, . . . , N x , j = 1, . . ., N y
(8.32)
Le système d’équations (8.32) (ou (8.30)) et (8.31) permet de calculer les
valeurs nodales u i,j en tous les noeuds de Δ h . Pour chaque couple d’indices i et j, l’équation (8.32) comporte cinq inconnues nodales, comme
on peut le voir sur la Figure 8.6. Pour cette raison, cette méthode de
différences finies est appelée schéma à cinq points pour l’opérateur de
Laplace. Les inconnues associées aux noeuds du bord peuvent être éliminées en utilisant (8.31) et donc (8.30) (ou (8.32)) ne comporte que
N = N x N y inconnues.
Le système obtenu peut être écrit sous une forme plus agréable en
rangeant les noeuds selon l’ordre lexicographique, c’est-à-dire en numérotant les noeuds (et donc les inconnues) de gauche à droite et de bas
en haut. On obtient un système de la forme (8.14), avec une matrice
A ∈ R
N×N tridiagonale par blocs
A = tridiag(D, T, D).
(8.33)
Elle comporte N y lignes et N y colonnes, et chaque terme (noté avec une
lettre capitale) est une matrice N x × N x . La matrice D ∈ R
Nx×Nx est
diagonale et ses coefficients sont −1/h
2
y , la matrice T ∈ R
Nx×Nx est
tridiagonale et symétrique
T = tridiag(−
1
h 2
x
,
2
h 2
x
+
2
h 2
y
, −
1
h 2
x
).
La matrice A est symétrique puisque tous ses blocs diagonaux le sont.
Elle est aussi définie positive, c’est-à-dire v
T Av > 0 ∀v ∈ R
N , v = 0.