8.2 Approximation de problèmes aux limites
273
x
y
x0 = a x1 x2 x3 x4 = b
y0 = c
y1
y2
y3
y4
y5
y6 = d
hx
hy
Figure 8.5. La grille de calcul Δh avec seulement 15 noeuds intérieurs sur un
domaine rectangulaire
extrémités de ces intervalles et h x = max
i=0,...,Nx
(x i+1 − x i ) leur longueur
maximale.
On discrétise de la même manière l’axe des y, Δ y = {y 0 , . . ., y Ny+1 }
avec y 0 = c, y Ny +1 = d et h y = max
j=0,...,Ny
(y j+1 − y j ). Le produit cartésien Δ h = Δ x × Δ y définit la grille de calcul sur Ω (voir Figure 8.5),
et h = max{h x , h y } mesure le pas de discrétisation. On cherche des
valeurs u i,j qui approchent u(x i , y j ). On supposera pour simplifier que
les noeuds sont uniformément espacés, c’est-à-dire x i = x 0 + ih x pour
i = 0, . . ., N x + 1 et y j = y 0 + jh y pour j = 0, . . ., N y + 1.
Les dérivées partielles du second ordre peuvent être approchées par
des taux d’accroissement, comme on l’a fait pour les dérivées ordinaires.
Dans le cas d’une fonction de deux variables, on définit les taux d’accroissement suivants
δ
2
x u i,j =
u i−1,j − 2u i,j + u i+1,j
h 2
x
,
δ
2
y u i,j =
u i,j−1 − 2u i,j + u i,j+1
h 2
y
.
(8.29)
Ces relations donnent des approximations d’ordre deux par rapport à
h x et h y des quantités ∂
2 u/∂x
2 et ∂
2 u/∂y
2 au noeud (x i , y j ). En remplaçant les dérivées secondes de u par les formules (8.29), et en écrivant
que l’EDP est satisfaite en tous les noeuds intérieurs de Δ h , on obtient
l’ensemble d’équations suivant
−(δ
2
x u i,j + δ
2
y u i,j ) = f i,j , i = 1, . . ., N x , j = 1, . . . , N y . (8.30)
On a posé f i,j = f(x i , y j ). On doit aussi écrire les conditions aux limites
de Dirichlet
u i,j = g i,j ∀i, j tels que (x i , y j ) ∈ ∂Δ h ,
(8.31)
273
x
y
x0 = a x1 x2 x3 x4 = b
y0 = c
y1
y2
y3
y4
y5
y6 = d
hx
hy
Figure 8.5. La grille de calcul Δh avec seulement 15 noeuds intérieurs sur un
domaine rectangulaire
extrémités de ces intervalles et h x = max
i=0,...,Nx
(x i+1 − x i ) leur longueur
maximale.
On discrétise de la même manière l’axe des y, Δ y = {y 0 , . . ., y Ny+1 }
avec y 0 = c, y Ny +1 = d et h y = max
j=0,...,Ny
(y j+1 − y j ). Le produit cartésien Δ h = Δ x × Δ y définit la grille de calcul sur Ω (voir Figure 8.5),
et h = max{h x , h y } mesure le pas de discrétisation. On cherche des
valeurs u i,j qui approchent u(x i , y j ). On supposera pour simplifier que
les noeuds sont uniformément espacés, c’est-à-dire x i = x 0 + ih x pour
i = 0, . . ., N x + 1 et y j = y 0 + jh y pour j = 0, . . ., N y + 1.
Les dérivées partielles du second ordre peuvent être approchées par
des taux d’accroissement, comme on l’a fait pour les dérivées ordinaires.
Dans le cas d’une fonction de deux variables, on définit les taux d’accroissement suivants
δ
2
x u i,j =
u i−1,j − 2u i,j + u i+1,j
h 2
x
,
δ
2
y u i,j =
u i,j−1 − 2u i,j + u i,j+1
h 2
y
.
(8.29)
Ces relations donnent des approximations d’ordre deux par rapport à
h x et h y des quantités ∂
2 u/∂x
2 et ∂
2 u/∂y
2 au noeud (x i , y j ). En remplaçant les dérivées secondes de u par les formules (8.29), et en écrivant
que l’EDP est satisfaite en tous les noeuds intérieurs de Δ h , on obtient
l’ensemble d’équations suivant
−(δ
2
x u i,j + δ
2
y u i,j ) = f i,j , i = 1, . . ., N x , j = 1, . . . , N y . (8.30)
On a posé f i,j = f(x i , y j ). On doit aussi écrire les conditions aux limites
de Dirichlet
u i,j = g i,j ∀i, j tels que (x i , y j ) ∈ ∂Δ h ,
(8.31)