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8 Approximation numérique des problèmes aux limites
Le système linéaire obtenu a pour inconnues {u 1 , . . . , u N } et a la même
matrice (8.15) que pour la méthode des différences finies, mais son second
membre est différent (ainsi que sa solution, bien qu’on l’ait notée de la
même manière). La méthode des différences finies et celle des éléments
finis ont cependant la même précision en h quand on considère l’erreur
nodale maximale.
On peut naturellement étendre la méthode des éléments finis aux
problèmes (8.17) et (8.18) ainsi qu’aux cas où μ, η et σ dépendent de x.
Pour approcher le problème à convection dominante (8.18), on peut
adapter aux éléments finis le schéma aux différences finies décentré. En
écrivant
u i − u i−1
h
=
u i+1 − u i−1
2h
−
h
2
u i+1 − 2u i + u i−1
h 2
,
on voit que décentrer des différences finies revient à perturber le schéma
centré par un terme correspondant à une dérivée seconde. Ce terme supplémentaire peut s’interpréter comme une diffusion artificielle. Ainsi,
le décentrage en éléments finis revient à résoudre avec une méthode de
Galerkin (centrée) le problème perturbé suivant
−μ h u
(x) + ηu
(x) = f(x),
(8.28)
où μ h = (1 + Pe)μ est la diffusion augmentée.
Une autre généralisation de la méthode des éléments finis linéaires
consiste à utiliser des polynômes par morceaux de degré supérieur à 1.
La matrice obtenue par éléments finis ne coïncide alors plus avec celle
des différences finies.
Voir les Exercices 8.1–8.7.
8.2.4 Approximation par différences finies du problème de
Poisson bidimensionnel
On considère le problème de Poisson (8.2), dans une région bidimensionnelle Ω.
La méthode des différences finies consiste à approcher les dérivées
partielles présentent dans l’EDP à l’aide de taux d’accroissement calculés
sur une grille constituée d’un nombre fini de noeuds. La solution u de
l’EDP est alors approchées seulement en ces noeuds.
La première étape est donc de définir une grille de calcul. Supposons pour simplifier que Ω soit le rectangle ]a, b[×]c, d[. Introduisons une
partition de [a, b] en sous-intervalles ]x i , x i+1 [ pour i = 0, . . . , N x , avec
x 0 = a et x Nx+1 = b. Notons Δ x = {x 0 , . . ., x Nx+1 } l’ensemble des
8 Approximation numérique des problèmes aux limites
Le système linéaire obtenu a pour inconnues {u 1 , . . . , u N } et a la même
matrice (8.15) que pour la méthode des différences finies, mais son second
membre est différent (ainsi que sa solution, bien qu’on l’ait notée de la
même manière). La méthode des différences finies et celle des éléments
finis ont cependant la même précision en h quand on considère l’erreur
nodale maximale.
On peut naturellement étendre la méthode des éléments finis aux
problèmes (8.17) et (8.18) ainsi qu’aux cas où μ, η et σ dépendent de x.
Pour approcher le problème à convection dominante (8.18), on peut
adapter aux éléments finis le schéma aux différences finies décentré. En
écrivant
u i − u i−1
h
=
u i+1 − u i−1
2h
−
h
2
u i+1 − 2u i + u i−1
h 2
,
on voit que décentrer des différences finies revient à perturber le schéma
centré par un terme correspondant à une dérivée seconde. Ce terme supplémentaire peut s’interpréter comme une diffusion artificielle. Ainsi,
le décentrage en éléments finis revient à résoudre avec une méthode de
Galerkin (centrée) le problème perturbé suivant
−μ h u
(x) + ηu
(x) = f(x),
(8.28)
où μ h = (1 + Pe)μ est la diffusion augmentée.
Une autre généralisation de la méthode des éléments finis linéaires
consiste à utiliser des polynômes par morceaux de degré supérieur à 1.
La matrice obtenue par éléments finis ne coïncide alors plus avec celle
des différences finies.
Voir les Exercices 8.1–8.7.
8.2.4 Approximation par différences finies du problème de
Poisson bidimensionnel
On considère le problème de Poisson (8.2), dans une région bidimensionnelle Ω.
La méthode des différences finies consiste à approcher les dérivées
partielles présentent dans l’EDP à l’aide de taux d’accroissement calculés
sur une grille constituée d’un nombre fini de noeuds. La solution u de
l’EDP est alors approchées seulement en ces noeuds.
La première étape est donc de définir une grille de calcul. Supposons pour simplifier que Ω soit le rectangle ]a, b[×]c, d[. Introduisons une
partition de [a, b] en sous-intervalles ]x i , x i+1 [ pour i = 0, . . . , N x , avec
x 0 = a et x Nx+1 = b. Notons Δ x = {x 0 , . . ., x Nx+1 } l’ensemble des